Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Układ równań różniczkowych liniowych z warunkiem początkowym



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 blumek

blumek

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.09.2014 - 19:34

y'=y+4z                    y(0)=4

z'=y+z                      z(0)=2


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.09.2014 - 22:36

Zapisujemy układ równań w postaci macierzowej

\left[ \begin{array}{c}y'\\z' \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}1&4\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}y\\z \end{array}\right]. 

 

Znajdujemy wartości własne macierzy układu

 

(1-\lambda)^2 -4=0,

(1-\lambda -2)(1- \lambda +2=0,\ \ \lambda{1}=-1,\ \ \lambda_{2}=3.

 

Znajdujemy wektory własne odpowiadające wartościom własnym

\lambda_{1}=-1

\left[ 2 \ \ 4\\1\ \ 2\right] \left[x\\y\right]=\left[0\\0\right]

 

w_{1}=\left[-2\\1\right]

 

\lambda_{2}=3,

 

\left[ -2 \ \ 4\\1\ \ -2\right] \left[x\\y\right]=\left[0\\0\right]

 

w_{2}=\left[2\\1\right]

 

Macierz diagonalizująca macierz ukladu  A

 D = \left [ -2 \ \ 2 \\1 \ \ 1\right]

 D^{-1} A D = \left [ -1\ \ 0 \\ 0 \ \ 3 \right]

 

Układ fundamentalny rozwiązań układu  

 u_{1}= c_{1}e^{-x}, u_{2}=c_{2}e^{3x}.

 

Rozwiązanie ogólne układu równań

 y= -2c_{1}e^{-x}+ 2c_{2}e^{3x},

 z = c_{1}e^{-x}+ c_{2}e^{3x}.

 

Z warunków początkowych wyznaczamy stałe c_{1}, c_{2}

 -2c_{1}+2c_{2}=4, c_{1}+c_{2}=2, c_{1}=0, c_{2}=2.

 

Rozwiązanie Cauchy układu

 y = 4e^{3x}, z =2e^{3x}.

 

 


  • 0