Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Równanie różniczkowe cząstkowe



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 jedrek91

jedrek91

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 16 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.09.2014 - 12:13

u_t = 9 u_x_x

 

u(0,t)=u(1,t)=0

u(x,0)=x(1-x)

 

 

Rozwiązać, współczynniki obliczyć metodą rozwinięcia w szereg Fouriera.

Bardzo dziękuję za pomoc.


Użytkownik jedrek91 edytował ten post 08.09.2014 - 15:00

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.09.2014 - 18:48

Wyobraźmy sobie wyidealizowany odcinek  I= \[ 0, 1\].

Temperatura w punkcie  x\in I to wartość funkcji dwóch zmiennych u(x, t),

 

Zmiany temperatury przy odpowiednim doborze jednostek opisuje równanie 

 u_{t}= 9 u_{xx},\ \ x\in(0, 1), t>0, (1)

które uzupełnione jest warunkami brzegowymi i warunkiem początkowym

u(0,t)= u(1,t)=0, (2)

u(x,0)=x(1-x)= f(x). (3)

 

Szukamy rozwiązania postaci:

 u(x,t)= X(x) \cdot T(t).

 

Po podstawieniu do równania (1) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

\frac{X

czyli

X

 

Z warunków brzegowych wynika, że 

X(0)=0, X(1)= 0.

 

Ponieważ  \lambda\leq 0 

-otrzymujemy rozwiązanie zerowe. 

Przyjmujemy \lambda > 0

 

Rozwiązując powyższe równania otrzymujemy

X(x) = A\cos\( \sqrt{\lambda}x\)+B\sin\(\sqrt{\lambda}x \),

 T(t) = Ce^{-9\lambda t}.

 

Z warunku X(0)=0 wynika, że [/tex] A=0,[/tex] zaś warunek X(1)=0 implikuje \sin\(\sqrt{\lambda}\)=0.

 

Ostatnie równanie jest spełnione dla  \lambda =\lambda_{n}= \(\frac{n\pi}{1}\)^2, n=1,2...

 

Zatem dla dowolnego n\in N funkcja 

u_{n}(x, t) = B_{n}e^{-\frac{n\pi}{1}\cdot 9t}sin\(\frac{n\pi}{1}x\) jest rozwiązaniem równania (1) spełniajacym warunki brzegowe (2).

Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku początkowego (3)

Rozważmy funkcje 

u(x,t) =\sum_{n=1}{\infty}u_{n}(x,t).

Powstaje pytanie , czy można dobrać tak stałe  B_{n} aby był spełniony warunek początkowy (3)?

 

W tym celu rozwińmy funkcję  f(x)= x(1-x) w szereg Fouriera  sinusów w przedziale \[0, 1\].

 f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\sin\(\frac{n\pi}{1}x,

gdzie 

 \alpha_{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\int s(s-1)\sin\(\frac{n\pi}{1}s ds,

 

Ponieważ u(x, 0)= \sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\sin\(\frac{n\pi}{1} x\), więc warunek (3) jest spełniony, gdy

 B_{n}= \alpha_{n},\ \ n=1,2,...

 

W konsekwencji:

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}2\int_{0}^{1}s(s-1)\sin\(n\pi s\)ds e^{-9n\pi t}\sin\(n\pi x\)= \int_{0}^{1}\[ 2\sum_{n=1}^{\infty}e^{-9n\pi t}\sin\(n\pi s)\sin\(n\pi x\)\]s(s-1)ds.


  • 0

#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.09.2014 - 18:48

Wyobraźmy sobie wyidealizowany odcinek  I= \[ 0, 1\].

Temperatura w punkcie x\in I to wartość funkcji dwóch zmiennych u(x, t),

 

Zmiany temperatury przy odpowiednim doborze jednostek opisuje równanie 

 u_{t}= 9 u_{xx},\ \ x\in(0, 1), t>0, (1)

które uzupełnione jest warunkami brzegowymi i warunkiem początkowym

u(0,t)= u(1,t)=0, (2)

u(x,0)=x(1-x)= f(x). (3)

 

Szukamy rozwiązania postaci:

 u(x,t)= X(x) \cdot T(t).

 

Po podstawieniu do równania (1) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

\frac{X

czyli

X

 

Z warunków brzegowych wynika, że 

X(0)=0, X(1)= 0.

 

Ponieważ  \lambda\leq 0 

-otrzymujemy rozwiązanie zerowe. 

Przyjmujemy \lambda > 0

 

Rozwiązując powyższe równania otrzymujemy

X(x) = A\cos\( \sqrt{\lambda}x\)+B\sin\(\sqrt{\lambda}x \),

 T(t) = Ce^{-9\lambda t}.

 

Z warunku X(0)=0 wynika, że [/tex] A=0,[/tex] zaś warunek X(1)=0 implikuje \sin\(\sqrt{\lambda}\)=0.

 

Ostatnie równanie jest spełnione dla  \lambda =\lambda_{n}= \(\frac{n\pi}{1}\)^2, n=1,2...

 

Zatem dla dowolnego n\in N funkcja 

u_{n}(x, t) = B_{n}e^{-\frac{n\pi}{1}\cdot 9t}sin\(\frac{n\pi}{1}x\) jest rozwiązaniem równania (1) spełniajacym warunki brzegowe (2).

Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku początkowego (3)

Rozważmy funkcje 

u(x,t) =\sum_{n=1}{\infty}u_{n}(x,t).

Powstaje pytanie , czy można dobrać tak stałe  B_{n} aby był spełniony warunek początkowy (3)?

 

W tym celu rozwińmy funkcję  f(x)= x(1-x) w szereg Fouriera  sinusów w przedziale \[0, 1\].

 f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\sin\(\frac{n\pi}{1}x,

gdzie 

 \alpha_{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\int s(s-1)\sin\(\frac{n\pi}{1}s ds,

 

Ponieważ u(x, 0)= \sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\sin\(\frac{n\pi}{1} x\), więc warunek (3) jest spełniony, gdy

 B_{n}= \alpha_{n},\ \ n=1,2,...

 

W konsekwencji:

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}2\int_{0}^{1}s(s-1)\sin\(n\pi s\)ds e^{-9n\pi t}\sin\(n\pi x\)= \int_{0}^{1}\[ 2\sum_{n=1}^{\infty}e^{-9n\pi t}\sin\(n\pi s)\sin\(n\pi x\)\]s(s-1)ds.


  • 0