u(0,t)=u(1,t)=0
u(x,0)=x(1-x)
Rozwiązać, współczynniki obliczyć metodą rozwinięcia w szereg Fouriera.
Bardzo dziękuję za pomoc.
Użytkownik jedrek91 edytował ten post 08.09.2014 - 15:00
Napisano 08.09.2014 - 12:13
u(0,t)=u(1,t)=0
u(x,0)=x(1-x)
Rozwiązać, współczynniki obliczyć metodą rozwinięcia w szereg Fouriera.
Bardzo dziękuję za pomoc.
Użytkownik jedrek91 edytował ten post 08.09.2014 - 15:00
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 30.09.2014 - 18:48
Wyobraźmy sobie wyidealizowany odcinek
Temperatura w punkcie to wartość funkcji dwóch zmiennych
Zmiany temperatury przy odpowiednim doborze jednostek opisuje równanie
(1)
które uzupełnione jest warunkami brzegowymi i warunkiem początkowym
(2)
(3)
Szukamy rozwiązania postaci:
Po podstawieniu do równania (1) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy
czyli
Z warunków brzegowych wynika, że
Ponieważ
-otrzymujemy rozwiązanie zerowe.
Przyjmujemy
Rozwiązując powyższe równania otrzymujemy
Z warunku wynika, że [/tex] A=0,[/tex] zaś warunek implikuje
Ostatnie równanie jest spełnione dla
Zatem dla dowolnego funkcja
jest rozwiązaniem równania (1) spełniajacym warunki brzegowe (2).
Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku początkowego (3)
Rozważmy funkcje
Powstaje pytanie , czy można dobrać tak stałe aby był spełniony warunek początkowy (3)?
W tym celu rozwińmy funkcję w szereg Fouriera sinusów w przedziale
gdzie
Ponieważ więc warunek (3) jest spełniony, gdy
W konsekwencji:
Napisano 30.09.2014 - 18:48
Wyobraźmy sobie wyidealizowany odcinek
Temperatura w punkcie to wartość funkcji dwóch zmiennych
Zmiany temperatury przy odpowiednim doborze jednostek opisuje równanie
(1)
które uzupełnione jest warunkami brzegowymi i warunkiem początkowym
(2)
(3)
Szukamy rozwiązania postaci:
Po podstawieniu do równania (1) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy
czyli
Z warunków brzegowych wynika, że
Ponieważ
-otrzymujemy rozwiązanie zerowe.
Przyjmujemy
Rozwiązując powyższe równania otrzymujemy
Z warunku wynika, że [/tex] A=0,[/tex] zaś warunek implikuje
Ostatnie równanie jest spełnione dla
Zatem dla dowolnego funkcja
jest rozwiązaniem równania (1) spełniajacym warunki brzegowe (2).
Rozwiązanie to na ogół nie spełnia warunku początkowego (3)
Rozważmy funkcje
Powstaje pytanie , czy można dobrać tak stałe aby był spełniony warunek początkowy (3)?
W tym celu rozwińmy funkcję w szereg Fouriera sinusów w przedziale
gdzie
Ponieważ więc warunek (3) jest spełniony, gdy
W konsekwencji:
Rachunek różniczkowy
równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu jednorodneNapisany przez trawa69, 09 Jan 2012 STUDIA |
|
|||
Rachunek różniczkowy
równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu jednorodne (2)Napisany przez Zainteresowany, 08 May 2012 STUDIA |
|
|||
STUDIA
Rachunek różniczkowy
Równanie różniczkowe cząstkowe quasi-linioweNapisany przez Ewaaa, 08 May 2014 |
|