Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Oblicz całkę krzywoliniową



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 Krzysiek Orłowski

Krzysiek Orłowski

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 56 postów
0
Neutralny

Napisano 02.09.2014 - 11:10

Oblicz dwoma sposobami (wyznaczając potencjał oraz całkując po odcinku)

 

\int xdx+(x-2y)dy+(x-y+z)dz

 

A(0,-1,-1)

B(2,1,0)


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.09.2014 - 14:13

Bezpośrednio

 

Parametryzacja odcinka

 

\{x=2t\\ y=-1+2t\\z=-1-t    t\in[0,1]

 

\int_{0}^{1}2t\cdot 2+(2t-2(-1+2t))\cdot2+(2t-(-1+2t)+(-1-t))\cdot(-1)dt

 

Przez potencjał

 

\vec{F}=(x, x-2y,x-y+z)

 

Teraz trochę całkowania

 

\frac{\partial U}{\partial x}=x

 

\frac{\partial U}{\partial y}=x-2y

 

\frac{\partial U}{\partial z}=x-y+z

 

Wyznaczamy U (oj później dokończe)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.09.2014 - 14:28

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Krzysiek Orłowski

Krzysiek Orłowski

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 56 postów
0
Neutralny

Napisano 05.09.2014 - 09:57

Mógłbyś dokończyć to zadanie? Bo nie ogarniam.


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.09.2014 - 11:35

To z parametryzacją chyba nie wymaga dokończenia - jeśli trzeba pisz

 

Obliczenie potencjału pola wektorowego o ile istnieje robi się tak:

 

1. Skoro \frac{\partial U}{\partial x}=P to liczymy calkę z funkcji P po zmiennej x. U nam Funkcja P=x

\int Pdx=\int xdx=\frac{1}{2} x^2+C(y,z) Czyli szukana funkcja pola wektorowego ma postać U=\frac{1}{2} x^2+C(y,z)

 

2. Teraz tak: Wiemy, że \frac{\partial U}{\partial y}=Q więc liczymy pochodną z funkcji U po zmiennej y i mamy (frac{1}{2} x^2+C(y,z))'=C'(y,z)

Obliczona pochodna ma się równać Q więc przyrównujemy i mamy C'(y,z)=x-2y więc C(y,z)=\int (x-2y) dy=xy-y^2+C'(z)

 

wstawiamy obliczone C(y,z) do funkcji U i mamy U=\frac{1}{2} x^2+xy-y^2+C'(z)

 

3. Ostatni krok: Wiemy, że \frac{\partial U}{\partial z}=R więc liczymy pochodną z funkcji U po zmiennej z i mamy (\frac{1}{2} x^2+xy-y^2+C'(z))'=C'(z)

 

Obliczona pochodna ma się równać R więc przyrównujemy i mamy C'(z)=x-y+z więc C(z)=\int (x-y+z) dz=xz-yz+\frac{1}{2} z^2+C

 

Ostatecznie funkcja pola wektorowego ma postać U=\frac{1}{2} x^2+xy-y^2+xz-yz+\frac{1}{2} z^2+C

 

Tyle, że coś mi się tu nie zgadza (bo teraz licząc pochodne po x,y i z powinniśmy otrzymać odpowiednio P,Q i R) więc jeszcze to przelicz bo z pamięci piszę. Pozostaje też kwestia czy to pole istnieje.

 

Aby istniało rotacja musi być równa zero czyli

 

\left(\frac{\partial R}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k}=0

 

Masz mieć w nawiasach zera - najprościej mówiąc

 

 

 

 


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Krzysiek Orłowski

Krzysiek Orłowski

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 56 postów
0
Neutralny

Napisano 05.09.2014 - 11:51

Z tego co widzę to pole istnieje.


  • 0