Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Oblicz całkę krzywoliniową



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Krzysiek Orłowski

Krzysiek Orłowski

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 56 postów
0
Neutralny

Napisano 28.08.2014 - 19:42

\int\sqrt{x^2+y^2}dl

 

gdzie K jest okręgiem x^2+x^2=2y


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2014 - 21:58

Parametryzacja  równania okręgu:  x^2 + (y-1)^2 =1 współrzędnymi biegunowymi:

x =1\cos(t), y-1= 1\sin(t), t\in < 0, \pi).

 

Różniczka długości łuku 

dl= \sqrt{x'^2(t) +y'2(t)}dt = \sqrt{(-sin(t))^2+cos^2(t)}=\sqrt{1}dt=1dt.

 

Wartość całki:

\int_{(K)} \sqrt{x^2 +y^2} dx =\int_{0}^{\pi}\sqrt{\cos^2(t)+(1+\sin(t))^2}1dt = \sqrt{2}\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\sin(t)}dt =...

 

 Myślę, że sobie poradzisz z obliczeniem tej całki.

 

Podstawienia:

 u= tg(t/2),dt =\frac{2}{1+u^2},\sin(t)= \frac{2u}{1+u^2}. -


Użytkownik janusz edytował ten post 28.08.2014 - 22:10

  • 1

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.08.2014 - 19:58

Parametryzacja  równania okręgu \ x^2 + (y-1)^2 =1\ współrzędnymi biegunowymi

x =\sin2\varphi\ \ \ y=2\sin^2\varphi\ \ \ \varphi\in\langle0,\pi\rangle

 

różniczka długości łuku 

dl= \sqrt{(x')^2+(y')^2}d\varphi=\sqrt{(2\cos2\varphi)^2+(2\sin2\varphi)^2}d\varphi=\sqrt{4\cos^22\varphi+4\sin^22\varphi}d\varphi=sqrt4d\varphi=2d\varphi

 

\int_K\sqrt{x^2 +y^2}dl=\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^22\varphi+4\sin^4\varphi}\cdot2d\varphi=2\int_{0}^{\pi}\sqrt{4\sin^2\varphi\cos^2\varphi+4\sin^2\varphi\sin^2\varphi}d\varphi=2\int_{0}^{\pi}\sqrt{4\sin^2\varphi}d\varphi=

=2\int_{0}^{\pi}2\sin\varphi d\varphi=4\int_{0}^{\pi}\sin\varphi d\varphi=4\cdot\|-\cos\varphi\|_0^\p=4\cdot2\gr\ \Rightarrow\ \re\int_K\sqrt{x^2 +y^2}dl=8

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.09.2014 - 19:36

Parametryzacja  równania okręgu:  x^2 + (y-1)^2 =1 współrzędnymi biegunowymi:

x =1\cos(t), y-1= 1\sin(t), t\in < 0, \pi).

 

 

 Myślę, że sobie poradzisz z obliczeniem tej całki.

 

Też myślę, że z policzeniem całki Krzysiek Orłowski sobie poradził.

Tylko że Twoja parametryzacja nie daje tego okręgu.  :(


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..