Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka funkcji trygonometrycznej - challenge accepted

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2014 - 13:53

\int \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}dx

 

Wykorzystamy wzór \fbox{\re{\cos(2x)=-1+2\cdot \cos^2(x)}}

 

\int \frac{-1+2\cdot \cos^2(x)}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}dx=-\int\frac{dx}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}+\int\frac{2\cdot \cos^2(x)}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}

 

Pierwsza z całek (minus chwilowo pominę)

 

\int\frac{dx}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}

 

Robimy podstawienie x=\arccos(t)   dx=\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}dt    oraz     t=cos(x)                  mamy więc

 

\int\frac{dx}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}=\int\frac{1}{\cos^2(\arccos(t))\cdot \sin(\arccos(t))}\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}dt=-\int\frac{dt}{t^2(1-t^2)}

 

bo   \cos(\arccos(f))=f          \sin(g)=\sqrt{1-\cos^2(g)}      a     \sqrt{h}\cdot \sqrt{h}=h

 

-\int\frac{dt}{t^2(1-t^2)} wygląda przystepnie ;)    Teraz rozkład \frac{1}{t^2(1-t^2)} na ułamki proste

 

-\int\frac{dt}{t^2(1-t^2)}=\int\frac{dt}{t^2\cdot (1-t)\cdot (1+t)}=-\int\frac{dt}{t^2}+\int\frac{dt}{2(t-1)}-\int\frac{dt}{2(t+1)}

 

                                                                       Można też nieco prościej by "nie drapać się w lewe ucho prawą ręką" ;)

                                                                       (@bb312 dzięki za uwagę)

 

                                                                       \re{\int\frac{dx}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}=\int\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)\cdot \sin^2(x)}dx=\int\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)\cdot (1-\cos^2(x))}dx}

                                                                       i teraz podstawić \re{\cos(x)=t}    więc    \re{-sin(x)dx=dt} i dostaniemy \re{-\int\frac{dt}{t^2(1-t^2)}}

                                                                       Dalej jest tak samo - to tylko sposób na "niezastosowanie" arccosinusa

 

 

                                                                    

Te całki już są proste do policzenia

 

-\int\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{t}+C a wracając do x mamy \frac{1}{cos(x)}+C

 

\int\frac{dt}{2(t-1)}=\int\frac{dt}{2t-2)} robimy podstawienie 2t-2=i   dt=\frac{1}{2}di i mamy \frac{1}{2}\cdot\int\frac{di}{i}=\frac{1}{2}\ln|i|+C=\frac{1}{2}\ln|2t-2|+C a wracając do x mamy \frac{1}{2}\ln|2cos(x)-2|+C

 

Podobnie dla

-\int\frac{dt}{2(t+1)}=-\frac{1}{2}\ln|2cos(x)+2|+C

 

                                             Uwaga - ciekawostka jeśli damy inne podstawienie t+1=i, mamy

                                             \int\frac{dt}{2(t-1)}=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t-1}=\frac{1}{2}\ln|t-1|+C=\frac{1}{2}\ln|cos(x)-1|+C

 

Reasumując

 

\int\frac{dx}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}=\frac{1}{cos(x)}+\frac{\ln|2cos(x)-2|-\ln|2cos(x)+2|}{2}+C

 

Druga z całek

 

\int\frac{2\cdot \cos^2(x)}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}dx=2\int\frac{dx}{sin(x)}

 

Robimy podstawienie trygonometryczne z tangensem kąta połówkowego

 

u=\tan\(\frac{x}{2}\)             dx=\frac{2}{1+u^2}du            sin(x)=\frac{2u}{1+u^2}    i mamy

 

2\int\frac{1}{\frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=2\int\frac{1}{u}du=2\ln|u|+C=2\ln|\tan\(\frac{x}{2}\)|+C

 

Kosmetyka

 

Pamiętając o pominiętym minusie mamy

 

\bl{\fbox{\int \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)\cdot \sin(x)}dx=-\(\frac{1}{cos(x)}+\frac{\ln|2cos(x)-2|-\ln|2cos(x)+2|}{2}\)+2\ln|\tan\(\frac{x}{2}\)|+C=\frac{\frac{-2}{cos(x)}-\ln|2cos(x)-2|+\ln|2cos(x)+2|+4\ln|\tan\(\frac{x}{2}\)|}{2}+C}}

 

jeszcze można uprościć np. logarytmy rozpisać, ale może wystarczy. No i mam nadzieje, że się nie pomyliłem ;)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.08.2014 - 21:15

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.08.2014 - 10:44

 I= \int \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)\sin(x)}=\int \frac{cos^2(x)-\sin^2(x)}{cos^2(x)\sin(x)}dx =\int \frac{1}{sin(x)}dx- \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}dx = \int csec(x)dx +\int \frac{d\cos(x)}{\cos^2(x)}dx = I_{1}+I_{2}.

I_{1}=\int csec(x)dx = | t= tg(x/2),\ \ sin(x)=\frac{2t}{1+t^2},\ \ dx= \frac{2}{1+t^2}|= \int \frac{1}{t}dt = ln|t|+C1= ln|tg(x/2)|+C1.

I_{2}=\int \frac{d(\cos(x))}{cos^2(x)}= -\frac{1}{\cos(x)}+C2

I=ln|tgx/2)| - \frac{1}{\cos(x)} +C,\ \ C=C1+C2.

 

 

  


  • 2