Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Pochodne - wiadomości podstawowe (2)

Pochodna Funkcja odwrotna

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.08.2014 - 16:21

*
Najwyższa ocena

Zacznę może do twierdzenia - roboczo oznaczmy tw. \(\triangle\) (Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej)

 

Jeśli funkcja f(x) posiada funkcję odwrotną f^{-1}(x), oraz w pewnym punkcie x_0 posiada skończoną pochodną, różną od zera \(f '(x_0) - istnieje i f'(x_0)\neq 0 \), to wtedy w odpowiadającym punktowi x_0 punktowi y_0 istnieje pochodna funkcji odwrotnej \(f'(x)\)' i jej wartość w punkcie y_0 równa się \frac{1}{f'(x_0)}

 

Dla rozjaśnienia może wykonajmy kilka konkretnych przykładów (poprzednio niewyprowadzanych) - patrz http://matma4u.pl/to...i-podstawowe-1/ punkt 10.

 

Przykład 1.

f(x)=arctan(x)

 

- funkcja do niej odwrotna istnieje i ma postać f^{-1}(x)=tg(x)

 

- pochodna tej funkcji (pochodna funkcji odwrotnej) ma postać \(f^{-1}\)'(x)=\frac{1}{cos^2(x)}

 

I teraz zgodnie z twierdzeniem \(\triangle\)  wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie y_0 równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie x_0 czyli:

 

 \(f^{-1}\)'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}

 

Czyli  \frac{1}{cos^2(y_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}

 

Teraz mnożymy na krzyż i przekształcamy

 

f'(x_0)=cos^2(y_0)=\frac{1}{\frac{1}{cos^2(y_0)}}

 

Teraz wykorzystując jednostkę trygonometryczną \(sin^2(k)+cos^2(k)=1\) mamy

 

f'(x_0)=cos^2(y_0)=\frac{1}{\frac{sin^2(y_0)+ cos^2(y_0)}{cos^2(y_0)}} = \frac{1}{\frac{sin^2(y_0)}{cos^2(y_0)}+ \frac{cos^2(y_0)}{cos^2(y_0)}} = \frac{1}{tg^2(y_0)+1}

 

Ale przecież y_0=f(x)=arctan(x_0) a zatem

 

tg(y_0)=tg(arctan(x_0))=x_0   (złożenie funkcji i funkcji odwrotnej w danym punkcje daje nam ten punkt)

 

Bacząc na ten fakt mamy f'(x_0)=\frac{1}{tg^2(y_0)+1}=\frac{1}{x^2_0+1}

 

Równość ta jest prawdziwa dla każdego x_0 należącego do dziedziny, zatem

 

\(arctan(x)\)'=\frac{1}{x^2+1}

 

Podobne rozważania można poczynić w stosunku do pozostałych funkcji cyklometrycznych a właściwie do każdej funkcji posiadającej funkcję odwrotną.

 

np. f(x)=10^x

 

Funkcja ta posiada funkcję odwrotną i ma ona postać f^{-1}(x)=\log_{10}(x) (krótko \log (x))

 

Teraz może weźmy konkretny np. x_0=3. Wiemy z http://matma4u.pl/to...i-podstawowe-1/ punkt 7, że f'(x)=10^x\cdot \ln(10), a dla x_0 mamy f'(3)=10^3\cdot \ln(10)=1000\cdot \ln(10)

 

Odpowiadający punktowi x_0 punkt y_0 ma wartość 1000

 

i teraz pochodna funkcji odwrotnej

 

\(f^{-1}\)'(x)=(\log (x))'=\frac{1}{x\cdot \ln(10)} istnieje a jej wartość w punkcie y_0 wynosi

 

\(f^{-1}\)'(y_0)=(\log (1000))'=\frac{1}{1000\cdot \ln(10)}

 

Jest ona równa \frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{1000\cdot ln(10)}

 

Czyli lewa strona równa jest prawej.

--------------------------

 

DOWÓD twierdzenia \(\triangle\)

 

Dowód przeprowadzę w oparciu o interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie.

 

 

pre_1408720084__pochodnaod1.jpg

Wartość pochodnej funkcji w punkcie jest to tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie - co chyba było omówione w poście http://matma4u.pl/to...i-podstawowe-1/ (a jeśli nie no to cóż ;-) wynika z interpretacji ilorazu różnicowego) co zresztą odzwierciedla obrazek powyżej.

 

Czyli f'(x)=\tan (\alpha)=\frac{d y}{d x}

 

Teraz uwaga: Wykres funkcji odwrotnej do f^{-1}(x) można przedstawić na tym samym wykresie , ale należny pamiętać, że czyta się go „na odwrót” – tzn. jakby argumentom y przyporządkowujemy wartości x (a więc przyrostem argumentów funkcji odwrotnej jest dy a przyrostem odpowiadających jej wartości jest dx. Czyli kąt \beta odpowiadający kątowi nachylenia stycznej do funkcji odwrotnej miałby miarę jak na rysunku poniżej

 

pre_1408720129__pochodnaod2.jpg

Wartość pochodnej funkcji odwrotnej w punkcie y_0 jest równa (f^{-1})'(y_0)=\tan (\beta)=\frac{dx}{dy} więc wartość pochodnej z funkcji i wartość pochodnej jej funkcji odwrotnej to tangensy kątów w tym samym trójkącie prostokątnym.

 

Wykorzystując zależność tan(\alpha)\cdot tan(\beta)=1 mamy tan(\beta)=\frac{1}{tan(\alpha)} co oznacza, że

 

tan(\beta)=(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{tan(\alpha)}

 

czyli \fbox{\bl{(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}}} co należało dowieść


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.09.2014 - 16:13

  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55