Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Oblicz całkę



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Krzysiek Orłowski

Krzysiek Orłowski

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 56 postów
0
Neutralny

Napisano 21.08.2014 - 08:41

\int\int\int(x^2+y^2) dxdydz

 

V = {(x,y,z) : \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq\sqrt{1-x^2-y^2}}


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.08.2014 - 18:40

\bl a=\int\int_V\int\(x^2+y^2\)dxdydz\ \ \ \ \ V=\{x,y,z\}:\ \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq\sqrt{1-x^2-y^2}

 

x^2+y^2=r^2\gr\ \Rightarrow\ r\leq z\leq\sqrt{1-r^2}

 

r\leq z\leq\sqrt{1-r^2}\gr\ \Rightarrow\ r\leq\sqrt{1-r^2}\gr\ \Rightarrow\ 0\leq r\leq\frac{sqrt2}{2}

 

a=\int_0^{2\p}\int_0^{\frac{sqrt2}{2}}r^2\int_r^{sqrt{1-r^2}}dz\,rdrd\varphi=\int_0^{2\p}\int_0^{\frac{sqrt2}{2}}r^2\(sqrt{1-r^2}-r\)rdrd\varphi=\int_0^{2\p}\int_0^{\frac{sqrt2}{2}}\(r^3sqrt{1-r^2}-r^4\)drd\varphi\ \ \ \(^{*1}\)

 

b=\int\(r^3sqrt{1-r^2}-r^4\)dr=\int r^3sqrt{1-r^2}dr-\int r^4dr=\int r^3sqrt{1-r^2}dr-\frac15r^5+C_1\ \ \ \(^{*2}\)

 

\int r^3sqrt{1-r^2}dr=\int r^2sqrt{1-r^2}rdr=\left[\begin{array}{c} 1-r^2 = t \\ -2rdr=dt\\r^2=1-t \end{array}\right]=\int(1-t)sqrt{t}\cdot\(-\frac12dt\)=-\frac12\int sqrt tdt+\frac12\int t^{\frac32}dt=

=-\frac12\cdot\frac23t^{\frac32}+\frac12\cdot\frac25t^{\frac52}+C_2=-\frac1{15}t^{\frac32}\(5-3t\)+C_2=\[\ \\t=1-r^2\\\ \]=-\frac1{15}\(sqrt{1-r^2}\)^3\(5-3+3r^2\)+C_2=

=-\frac1{15}\(sqrt{1-r^2}\)^3\(2+3r^2\)+C_2

wracamy do \ \(^{*2}\)

b=-\frac1{15}\(sqrt{1-r^2}\)^3\(2+3r^2\)+C_2-\frac15r^5+C_1=-\frac1{15}\(sqrt{1-r^2}\)^3\(2+3r^2\)-\frac15r^5+C

całka oznaczona z \ \(^{*}\)

\int_0^{\frac{sqrt2}{2}}\(r^3sqrt{1-r^2}-r^4\)dr=\|b\|_0^{\frac{sqrt2}{2}=\|-\frac1{15}\(sqrt{1-r^2}\)^3\(2+3r^2\)-\frac15r^5\|_0^{\frac{sqrt2}{2}}=\frac{8-5sqrt2}{60}

wracamy do \ \(^{*}\)

a=\int_0^{2\p}\frac{8-5sqrt2}{60}d\varphi=\frac{8-5sqrt2}{60}\int_0^{2\p}d\varphi=\frac{8-5sqrt2}{60}\(2\p-0\)=\frac{8-5sqrt2}{60}\cdot2\p\gr\ \Rightarrow\ \re a=\frac{\(8-5sqrt2\)\p}{30}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..






Tematy podobne do: Oblicz całkę     x