Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Rozwinąć w szereg Laurenta



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 jedrek91

jedrek91

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 16 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.08.2014 - 12:12

\frac{1}{(z+1)(z^2+2)}

dla a) 1< |z| < \sqrt{2}

b) |z| > \sqrt{2}

 

 

Bardzo, bardzo proszę o rozwiązanie.


Użytkownik jedrek91 edytował ten post 17.08.2014 - 12:16

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3061 postów
1418
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.08.2014 - 21:42

 \frac{1}{(z+1)(z^2+2)}= \frac{1}{3(z+1)}+ \frac{1}{z^2+2}\cdot \frac{1-z}{3}.

 

a) |z|>1\wedge |z|<\sqrt{2}.

 Funkcja musi być analityczna w pierścieniu D( 1, \sqrt{2}). 

 

 \frac{1}{3(z+1)}= -\frac{1}{3z \left(1+\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{3z}\left(1-\left(-\frac{1}{z}\right)\right)^{-1}= \frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \left(\frac{1}{z}\right)^{n}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{z^{n+1}}.

 

\frac{1}{z^2+2}\cdot \frac{1-z}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\left(1-\left( -\frac{z^{2}}{2}\right)\right)}\cdot \frac{1-z}{3}= \frac{1-z}{6}\cdot \left(\frac{1}{1-\left(-(\frac{z}{\sqrt{2}})^2\right)}\right)^{-1} = \frac{1-z}{6}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^{2n}= \frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left( \frac{z}{\sqrt{2}}\right)^{2n}- \frac{\sqrt{2}}{6}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^{n+1}.

 

b) Podobnie


Użytkownik janusz edytował ten post 18.08.2014 - 09:37

  • 1

#3 jedrek91

jedrek91

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 16 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.08.2014 - 13:15

Bardzo dziękuje, wszystko rozumiem, oprócz jednego - pierwszej linijki.

Jak rozbić ten ułamek na sumę dwóch. Da się to jakoś bardziej rozpisać?

Byłbym bardzo wdzięczny.


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3489 postów
3077
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.08.2014 - 14:26

Właściwie to zwykły rozkład na ułamki proste

 

\frac{1}{(z+1)(z^2+2)}= \frac{A}{z+1}+ \frac{Bz+C}{z^2+2}=\frac{Az^2+2A+Bz^2+zC=Bz+C}{(z+1)(z^2+2)}

 

Cały ten licznik ma wynosić 1 więc

 

\{A+B=0\\ C+B=0\\2A+C=1          \Rightarrow              \{A=\frac{1}{3}\\ B=-\frac{1}{3}\\ C=\frac{1}{3}

 

i masz

 

\frac{\frac{1}{3}}{z+1}+ \frac{-\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}}{z^2+2}=\frac{1}{3(z+1)}+ \frac{-z+1}{3(z^2+2)}=\frac{1}{3(z+1)}+ \frac{1}{z^2+2}\cdot \frac{1-z}{3}

 

Bardzo dziękuje, wszystko rozumiem, ...

Da się to jakoś bardziej rozpisać?

 

Byłbym bardzo wdzięczny.

 

p.s. Podziękowanie są przyjmowane w postaci plusów ;)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.08.2014 - 14:27

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3988 postów
4738
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.08.2014 - 14:31

 \frac{1}{(z+1)(z^2+2)}

 

to jest rozkład na ułamki proste

 \frac{1}{(z+1)(z^2+2)}=\frac{A}{z+1}+ \frac{Bz+C}{z^2+2}

 

robi sie to tak, że sprowadzamy do współnego mianownika

\frac{A}{z+1}+ \frac{Bz+C}{z^2+2}=\frac{A(z^2+2)+(Bz+C)(z+1)}{(z+1)(z^2+2)}=\frac{Az^2+2A+Bz^2+Bz+Cz+C}{(z+1)(z^2+2)}=\frac{(A+B)z^2+(B+C)z+2A+C}{(z+1)(z^2+2)}

 

liczniki muszą być tożsamościowo równe

(A+B)z^2+(B+C)z+2A+C\equiv1\gr\ \Rightarrow\ \{A+B=0\\B+C=0\\2A+C=1\gr\ \Rightarrow\ \bl\{A=\frac13\\B=-\frac13\\C=\frac13

 

\re\frac{1}{(z+1)(z^2+2)}\ =\frac{\frac13}{z+1}+ \frac{-\frac13z+\frac13}{z^2+2}=\ \re\frac13\cdot\frac{1}{z+1}+\frac{1-z}{3}\cdot\frac{1}{z^2+2}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#6 jedrek91

jedrek91

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 16 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.09.2014 - 21:03

Wszystko jasne, tylko w podpunkcie b) pod koniec rozwijania w szereg Loranta członu w którym znajduje się pierwiastek z dwóch, mam problem - rozwinąłem już w szereg, ale mam problem aby jak najprościej uprościć, tak jak jest to zrobione w podpunkcie a) wyżej.

Mógłby ktoś rozwiązać? Będę bardzo bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam


  • 0

#7 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3988 postów
4738
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.09.2014 - 20:00

\bl z>sqrt2

 

pierwszy składnik będzie identyczny

\frac{1}{3(z+1)}=\ \re\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{z^{n+1}}.

 

do drugiego  trzeba podejść inaczej

\frac{1}{z^2+2}\cdot \frac{1-z}{3}=\ \frac{1-z}{3z^2}\cdot\frac{1}{1+\frac2{z^2}}=\frac{1-z}{3z^2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2}{z^2}\right)^{n}=\frac{1}{3z^2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2}{z^2}\right)^{n}-\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2}{z^2}\right)^{n}=

 

=\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2}{z^2}\right)^{n}-\frac{sqrt2}{6}\cdot\frac{sqrt2}{z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{sqrt2}{z}\right)^{2n}\ =\ \re\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2}{z^2}\right)^{n+1}-\frac{sqrt2}{6}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{sqrt2}{z}\right)^{2n+1}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#8 holly_m

holly_m

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 17.09.2015 - 17:17

Cześć,

 

Mam podobny problem. Czy ktoś może pomóc mi rozwinąć taką funkcję w szereg Laurenta? 

 

f(z) = \frac{6z + 1}{(z+1)(z-2)},  pierścień   0< |z-2| < 3 .

 

Dziękuję i pozdrawiam. 


Użytkownik janusz edytował ten post 17.09.2015 - 19:33

  • 0

#9 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3061 postów
1418
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.09.2015 - 19:40

Zapoznaj się z regulamin forum.

 

 Naucz się pisać w TeX.

 

Nie podpinaj się do wcześniejszych postów- problemów, które Ciebie nie dotyczą,

 

Rozłóż funkcję  f(z) na sumę ułamków prostych.

 

Zastosuj rozwinięcie każdego z tych ułamków w szereg Laurenta w podanym pierścieniu, wzorując się na powyższym przykładzie.


  • 0