Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Przestrzeń mierzalna, odwzorowanie mierzalne



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.08.2014 - 16:12

Ot takie cudo :)   Jakiś pomysł jak to ruszyć?

 

 

Niech (X, \mathcal{X}), (Y, \mathcal{Y}), (U, \mathcal{U}), (V,\mathcal{V}) będą przestrzeniami mierzalnymi. Udowodnij, że jeśli odwzorowanie

 

f: X\rightarrow U i g: Y\rightarrow V są mierzalne to także odwzorowania

 

f^{-}:(X\times Y, x\otimes y)\rightarrow (U,\mathcal{U}),      g^{-}:(X\times Y, x\otimes y)\rightarrow (V,\mathcal{V}),          f\times g:(X\times Y, x\otimes y)\rightarrow (U\times V,\mathcal{U}\otimes \mathcal{V})

 

określone wzorami

 

f^{-}(x,y)=f(x)               g^{-}(x,y)=g(y)                    (f\times g) (x,y)= (f(x), g(y))

 

są mierzalne


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Absynt

Absynt

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 17 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.08.2014 - 17:04

1. Będę pisał dalej f_{1}(x,y)=f(x). Ustalmy zbiór A \in \mathcal{U}. Wtedy

f^{-1}_{1}(A)=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, f_{1}(x,y) \in A \}=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, f(x) \in A \}=\{ x \in X | f(x) \in A \} \times Y=f^{-1}(A) \times Y=

Z założenia mierzalności f mamy  f^{-1}(A) \in \mathcal{X}. Ponadto zawsze Y \in \mathcal{Y}. W  przestrzeni X \times Y sigma ciało jest produktem sigma ciał, zatem f^{-1}(A) \times Y \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}. Wykazaliśmy, że przeciwobraz zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym, co oznacza, że f_{1}(x,y) jest funkcją mierzalną względem odpowiednich przestrzeni mierzalnych.

 

2. Analogicznie dla g_{1}(x,y)=g(y)

 

3. Niech h=f \times g. Ustalmy zbiór A \in \mathcal{U} \times \mathcal{V}. Jest on postaci A=B \times D, gdzie B \in \mathcal{U}, D \in \mathcal{V}. Wtedy
h^{-1}(A)=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, h(x,y) \in A \}=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, (f(x),g(y)) \in B \times D \}=\{ x \in X | f(x) \in B \} \times \{ y \in Y | g(y) \in D \} =

f^{-1}(B) \times g^{-1}(D) \in \mathcal{X} \times \mathcal{V}

co wynika z mierzalności f i g.


  • 1