Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Paulina Drożdż

Paulina Drożdż

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 28 postów
0
Neutralny

Napisano 07.07.2014 - 21:43

Znaleźć rozwiązanie szczególne równania y'-\frac{2xy}{1+x^2}=2x^3+2x spełniające warunek początkowy y(-2)=5


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 07.07.2014 - 22:15

\bl y'-\frac{2xy}{1+x^2}=2x^3+2x\ \ \ \ \ y(-2)=5

 

najsamwpierw równanie

y'-\frac{2xy}{1+x^2}=0\gr\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{1+x^2}\gr\ \Rightarrow\ \frac{dy}{y}=\frac{2x}{x^2+1}dx\gr\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{y}=\int\frac{2x}{x^2+1}dx\gr\ \Rightarrow\ \ln y=\ln(x^2+1)+C_1\gr\ \Rightarrow\

\bl y=C(x^2+1)

 

teraz przyjmujemy, że C jest zależne od x i różniczkujemy y

y'=C'(x^2+1)+C\cdot2x\gr\ \Rightarrow\ \bl y'=C'(x^2+1)+2Cx

 

podstawiamy to do równania wyjściowego

C'(x^2+1)+2Cx-\frac{2x}{x^2+1}\cdot C(x^2+1)=2x^3+2x\gr\ \Rightarrow\ C'(x^2+1)=2x(x^2+1)\gr\ \Rightarrow\ \bl C'=2x

 

wyliczamy C

C=\int2xdx\gr\ \Rightarrow\ C=x^2+C_2\gr\ \Rightarrow\ \bl y=(x^2+C_2)(x^2+1)

 

podstawiamy warunek początkowy

y(-2)=\((-2)^2+C_2\)\((-2)^2+1\)=(4+C_2)\cdot5=5\gr\ \Rightarrow\ \bl C_2=-3

 

ostatecznie

\re y=(x^2-3)(x^2+1)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..