Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Ekstremum funkcji



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 czar

czar

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 48 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 09:04

Witam i proszę o pomoc z poniższym zadaniem!!

 

Wyznaczyć wyszystkie ekstrema funkcji f(x,y)= x^4 + y^4 - 4xy + 7

 

Gdzieś robię błąd tylko nie wiem gdzie i wychodzą mi abstrakcyje wyniki. Z góry dziękuję za pomoc.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 09:16

Pokaż swoje rozwiązanie, sprawdzimy, poprawimy, uchronimy od abstrakcyjnych wyników.


  • 0

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 12:33

Liczysz pochodne cząstkowe i przyrównujesz do zera

 

\{4x^3-4y=0\\4y^3-4x=0

 

i wychodzi Ci

 

\{x=1\\ y=1

 

lub

 

\{x=-1\\ y=-1

 

Teraz drugie pochodne, Hesjant i

 

W obu tych punktach masz minimum lokalne równe 5 (całkiem rzeczywisty wynik :)  )

 

f(-1,-1)=5

f(1,1)=5


A tak z Ciekawości, co Tobie wyszło


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.07.2014 - 10:27

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 13:33

 f'_{|x}(x,y)=4x^3-4y

f'_{|y}(x,y)=4y^3-4x,

 

Współrzędne punktów krytycznych 

\left{\begin{array}{cc}4x^3-4y=0\\4y^3-4x=0\end{array}\right.

Odejmujemy równanie drugie od pierwszego

(x^3-y^3+x-y=0,

 (x-y)(x^2+xy +y^2+(x-y)=0,

(x-y)(x62+y^2+xy +1)=0,

y=x, (1)

Z(1) i na przykład z równania pierwszego 

 4x^3-4x=0, 4x(x^2-1)=0, 4x(x+1)(x-1)=0, (2)

Z(1), (2)

(-1,-1), (0,0), (1,1)

Macierz drugich pochodnych cząstkowych

\left[ \begin{array}{cc}12x&-4\\-4&12y \end{array}\right]

W punkcie  (-1,-1) - ujemnie określona,

W  (0,0) - nieokreślona

W (1,1) - dodatnio określona

f_{max.lok.}=f(-1,-1), f_{min.lok.}= f(1, 1)

W punkcie (0,0) - nie występuje ekstremum lokalne funkcji.


Użytkownik janusz edytował ten post 01.07.2014 - 14:45

  • 1

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 14:01

Eee, @Janusz

 

W obu punktach jest minimum lokalne (-)(-)=(+)

 

Macierz drugich pochodnych cząstkowych \left[ \begin{array}{cc}12x&0\\0&12y \end{array}\right]

W punkcie (-1,-1) - ujemnie określona,

W (0,0) - nieokreślona

W (1,1) - dodatnio określona

 

A macierz

\left[ \begin{array}{cc}12x&-4\\-4&12y \end{array}\right]

 


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 14:27

W (-1,-1)

|-12|<0

\left|\begin{array}{cc}-12&-4\\-4&-12\end{array}\right|>0 - macierz ujemnie określona - maksimum lokalne

W (1, 1)

|12|>0

\left|\begin{array}{cc}12&-4\\-4&12\end{array}\right|>0 - macierz dodatnio określona - minimum lokalne


  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 19:26

pre_1404239209__minimum.jpg

No właśnie obliczenia jakby dobrze, ale mi wychodzi dwa minima


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.07.2014 - 19:37

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 21:14

Z takiego ograniczonego wykresu D3  nie można nic powiedzieć o ekstremach lokalnych funkcji. Należy poprawnie  badać określoność macierzy drugiej różniczki lub sygnaturę znaków jej wyznaczników.


Użytkownik janusz edytował ten post 01.07.2014 - 21:15

  • 0

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 23:43

Oj wiem wiem, że wykres to tylko wykres. Po prostu mi coś nie pasuje by tam było max lokalne pomimo, że z obliczeń wynika iż tak jest. zbadałem wartości w punktach bliskich punktowi szczególnemu.

 

Pozdrawiam

 

------------------------------

Jeee, znalazłem mały błąd.


Macierz drugich pochodnych cząstkowych \left[ \begin{array}{cc}12x^2&-4\\-4&12y^2 \end{array}\right]

 

W (-1,-1)      |a_{1,1}|>0                   \left|\begin{array}{cc}12&-4\\-4&12\end{array}\right|>0 - macierz dodatnio określona - minimum lokalne

W (1, 1)      |a_{1,1}|>0                   \left|\begin{array}{cc}12&-4\\-4&12\end{array}\right|>0 - macierz dodatnio określona - minimum lokalne

 

Jest w obu punktach minimum :)

 

 

Chyba zasłużyłem na odznakę "Psotnika" lub "Matmoholika" :P


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.07.2014 - 08:19

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Ekstremum funkcji     x