Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Rozwiązac równanie różniczkowe przy warunku początkowym



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 czar

czar

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 48 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 08:59

Rozwiązać równanie różniczowe:

y' - \frac{2}{x}y = 4x^3

przy warunku początkowym y(1) = 1.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2014 - 09:47

y'(x)+\frac{2}{x}y(x)=4x^3

Korekta:

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

 y'(x)+\frac{2}{x}y(x)=0,

y'(x)=-\frac{2}{x}y,

\int\frac{ y'(x)dx}{y} =\int\frac{dy}{y}=-\int \frac{2}{x}dx, 

 ln|y(x)|=-2ln (x)+c.

 y(x)=Ce^{-x^2}, C=e^{c}

 

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

 y'_{0}(x)=C'(x)e^{-x^2}-2C(x)xe^{-x^2},

C'(x)e^{-x^2}-2C(x)xe^{-x^2}+2C(x)xe^{-x^2}=4x^3,

C'(x)e^{-x^2}=4 x^3,

C'(x)=4 x^3e^{x^2},

t =x^2 (przez części)

C(x)= \int 4x^3e^{x^2}= \int 2te^{t}dt = \int2t(e^{t})'dt= 2te^{t}- 2\int1e^{t}dt= 2te^{t}- 2e^{t}=2e^{x^2}(x^2-1)+D,

y(x)=2(x^2-1)+De^{-x^2}. 

 

Podstawiamy warunek początkowy y(1)=1 i wyznaczamy stałą D

..............................................................................


Użytkownik janusz edytował ten post 01.07.2014 - 16:18

  • 1

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.07.2014 - 22:47

\int\frac{ y'(x)dx}{y} =\int\frac{dy}{y}=-\int \frac{2}{x}dx, 

...

 y(x)=Ce^{-x^2}, C=e^{c}

 

\int\frac{dy}{y}=-\int\frac{2}{x}dx\gr\ \Rightarrow\ \ln y=-2\ln x+C_1=\ln x^{-2}+\ln C=\ln\(Cx^{-2}\)\gr\ \Rightarrow\ \bl y(x)=Cx^{-2}

 

 

y' - \frac{2}{x}y = 4x^3\ \ \ przy warunku początkowym \ y(1) = 1

 

y'-\frac{2y}{x}=0\gr\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}\gr\ \Rightarrow\ \frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x}\gr\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{y}=2\int\frac{dx}{x}\gr\ \Rightarrow\ \ln y=2\ln x+\ln C\gr\ \Rightarrow\ \bl y=Cx^2

 

przyjmujemy, że C jest zależne od x i liczymy pochodną y

y'=C'(x)\cdot x^2+C(x)\cdot2x=C'(x)\cdot x^2+2xC(x)

 

podstawiamy to do równania wyjściowego

C'(x)\cdot x^2+2xC(x)-\frac2x\cdot C(x)x^2=4x^3\gr\ \Rightarrow\ C'(x)\cdot x^2=4x^3\gr\ \Rightarrow\ C'(x)=4x

 

wyliczamy C(x)

C(x)=\int4xdx\gr\ \Rightarrow\ C(x)=2x^2+C_2\gr\ \Rightarrow\ \bl y=2x^4+C_2x^2

 

podstawiamy warunek początkowy

y(1)=2\cdot1^4+C_2\cdot1^2=2+C_2\gr\ \Rightarrow\ 2+C_2=1\gr\ \Rightarrow\ \bl C_2=-1

 

ostatecznie \ \ \re y=2x^4-x^2

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..