Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Obliczyć ekstrema lokalne funkcji



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 glob@l123

glob@l123

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 10 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2014 - 18:23

Witam zgodnie  z tematem do obliczenia ekstrema lokalne funkcji:

 

f(x,y) x2-6xy+y3+3x+6y-1\2

 

i tak wiem że musze policzyć pochodne i stworzyć układ równań, więc wychodzi taki :

2x-6y+3=0

-6x+3y2+6=0

 

i tu sie pojawia problem bo nie wiem jak ugryźć ten układ a dalej jak będę miał punkty powinienem sobie poradzić


Użytkownik glob@l123 edytował ten post 23.06.2014 - 18:32

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2014 - 18:27

\{2x-6y+3=0\\ -6x+3y^2+6=0

 

Z pierwszego wyznaczam x=\frac{6y-3}{2}   i wstawiam do drugiego

 

-6\cdot \frac{6y-3}{2}+3y^2+6=0  i masz równanie kwadratowe

 

9-18y+3y^2+6=0

 

3y^2-18y+15=0

 

y=1                   lub                 y=5

 

 

 

\{x=\frac{3}{2}\\ y=1

 

lub

 

\{x=\frac{27}{2}\\ y=5


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.06.2014 - 21:11

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 glob@l123

glob@l123

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 10 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2014 - 19:12

ok już wiem tylko x=\frac{-3+6y}{2}

 

i po obliczeniach

 

y=1          lub          y=5

 

ale dzięki za pomoc:))


Użytkownik glob@l123 edytował ten post 23.06.2014 - 19:12

  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.06.2014 - 20:34

 Pochodne pierwszego rzędu funkcji  f(x,y)

 f_{|x}(x,y)= 2x - 6y +3,

f_{|y}(x,y)= -6x + 3y^2+6,

 

 Współrzędne punktów krytycznych:

 \left{ 2x -6y +3 =0\\ -6x+3y^2+6 =0 \right.

 

Mnożymy pierwsze równanie przez 3 i dodając do równania drugiego otrzymujemy

 \left{3y^2 -18y +15=0\\ 2x-6y +3=0,\right.

\left{y^2 -6y +5=0\\ 2x-6y +3=0,\right.

\left\{ y_{1}= 1 \vee y_{2}=5\\ 2x-6y +3=0\right.

x_{1}=\frac{3}{2}\wedge y_{1}=1,

x_{2}=\frac{27}{2}\wedge y_{2}=5.

 

Pochodne drugiego rzędu funkcji  f

f_{|xx}(x, y)=2,

f_{|xy}(x, y)=-6 = f_{|yx}(x, y),

f_{yy}(x, y)= 6y.

 

Macierze drugich różniczek w punktach krytycznych:

D^2\(\frac{3}{2}, 1)= \left[\begin{array}{cc}2&-6\\-6&6\end{array}\right] (1)

D^2\(\frac{27}{2}, 5)= \left[\begin{array}{cc}2&-6\\-6&30\end{array}\right] (2)

 

Określoność macierzy drugich różniczek (1), (2)

Wartości ich wyznaczników:

(1)

|2|>0,\left|\begin{array}{cc}2&-6\\-6&6\end{array}\right| = 12-36=-24<0

(2)

|2|>0,\left|\begin{array}{cc}2&-6\\-6&30\end{array}\right| = 60-36=24>0

 

W punkcie

 \left(\begin{array}{c}x_{1}\\y_{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\1\end{array}\right)

funkcja nie ma ekstremum lokalnego.

 

W punkcie 

 \left(\begin{array}{c}x_{2}\\y_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{27}{2}\\ 5\end{array}\right)

macierz drugiej różniczki jest dodatnio określona, zatem występuje minimum lokalne funkcji

 f_{min.lok.}= f\(\frac{27}{2}, 5\).

 


  • 0