Pokaż że równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
#1
Napisano 15.06.2014 - 22:23
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 15.06.2014 - 22:55
Może spróbuj tak:
zgodnie z tw. Pitagorasa
I teraz wystarczy udowodnić, że nie ma rozwiązania dla liczb naturalnych a to łatwiejsze.
Brutalną siłą masz do sprawdzenia 14 pary liczb np. a więc za dużo sprawdzamy i tak dalej (podnoszę większą liczbę do kwadratu i doszacowuje drugą)
Rozwiązania brak więc ogólnie takiej trójki nie znajdziemy.
Można pobawić się kongruencjami ale na liceum to chyba za dużo
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.06.2014 - 22:56
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
#3
Napisano 16.06.2014 - 05:12
a jest jeszcze inna metoda?
#4
Napisano 16.06.2014 - 08:59
Nie można tak rozwiązywać tego zadania, choćby dlatego, że nie mamy żadnej gwarancji, że a i b to część pewnej trójki pitagorejskiej.
Poprawne rozwiązanie może wyglądać tak:
Zauważmy, że możliwe reszty kwadratowe modulo 4 to 0 i 1, skoro , to musi być . Czyli są parzyste. Niech itd.
Mamy . Dodatkowo . Ale zbiór reszt kwadratowych modulo 8 to . Sumując trzy liczby z tego zbioru nigdy nie dostaniemy 7. A to kończy dowód, że podane równanie nie ma rozwiązania.
Użytkownik Ereinion edytował ten post 16.06.2014 - 08:59
#5
Napisano 16.06.2014 - 10:08
w odpowiedziach jest napisane zeby uzyć dowodu niewprost
#6
Napisano 16.06.2014 - 10:45
To właśnie zrobiłem. Założyłem, że równanie ma rozwiązanie, powiedziałem coś o tym hipotetycznym rozwiązaniu i doszedłem do sprzeczności.
#7
Napisano 16.06.2014 - 11:17
ok dzięki
#8
Napisano 16.06.2014 - 14:07
Do tego można podejść również inną drogą, choć bardziej żmudną
suma trzech liczb jest parzysta, tzn. mamy dwie możliwości:
1. te trzy liczby są parzyste, lub
2. dwie liczby są nieparzyste i jedna parzysta
ad1.
suma trzech liczb jest nieparzysta, tzn. mamy dwie możliwości
1a. te trzy liczby są nieparzyste, lub
1b. jedna liczba jest nieparzysta i dwie parzyste
ad1a.
po lewej stronie mamy sumę trzech składników parzystych (iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych)
po prawej liczbę nieparzystą - sprzeczność
po lewej stronie mamy liczbę podzielną przez 4
po prawej stronie mamy liczbę niepodzielną przez cztery - sprzeczność
ad2.
po lewej stronie mamy liczbę podzielną przez 4
po prawej stronie mamy liczbę niepodzielną przez cztery - sprzeczność
Jeśli chcesz powiedzieć DZIĘKUJĘ lub ŁAŁ to zaloguj się i kliknij znak nad kreską.
..
..
..
..
..
..
#9
Napisano 16.06.2014 - 22:59
Nie można tak rozwiązywać tego zadania, choćby dlatego, że nie mamy żadnej gwarancji, że a i b to część pewnej trójki pitagorejskiej.
True
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską