Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Wykaż, że liczba jest złożona



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.06.2014 - 17:44

Wykaż, że liczba   4^{545} + 545^4 jest złożona.

 

Ps. już sobie z tym zadaniem poradziłem.


Użytkownik bronstein edytował ten post 08.06.2014 - 17:46

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.12.2019 - 08:56

Fajnie a gdzie rozwiązanie :)

 

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

 

4^{545}+545^4=(2^{545}+545^2)^2-2\cdot 2^{545}\cdot 545^2=(2^{545}+545^2)^2- 2^{546}\cdot 545^2=(2^{545}+545^2)^2- (2^{273}\cdot 545)^2

 

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

 

(2^{545}+545^2)^2- (2^{273}\cdot 545)^2=(2^{545}+545^2-2^{273}\cdot 545)\cdot (2^{545}+545^2+2^{273}\cdot 545)

 

mamy dwa różne dzielniki wyjściowej liczby a zatem złożona

 

 

----------------------------

inne: https://omj.edu.pl/u...rat-16_p187.pdfstr.4 (Nierówność Sophie Germain)

 

x^4+4^y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)=((x-y)^2+y^2)(x+y)^2+y^2)

 

4^{545}+545^4=545^4+4\cdot(4^{136})^4

 

zatem

 

4^{545}+545^4=(545^2+2\cdot 545\cdot 4^{136}+2\cdot 4^{272})\cdot (545^2-2\cdot 545\cdot 4^{136}+2\cdot 4^{272})

 

pozostaje udowodnić, że czynniki są większe od 1

 

weźmy mniejszy z nich

 

545^2-2\cdot 545\cdot 4^{136}+2\cdot 4^{272}>545^2-2\cdot 545\cdot 4^{136}+ 4^{272}=(545-4^{136}-545)^2=(4^{136}-545)^2

 

(4^{136}-545)^2>1

 

czyli mniejszy czynnik większy od 1


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 31.12.2019 - 09:08

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską