Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Wykazanie granicy



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
13 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.05.2014 - 17:41

Witam,

 

Mamy liczby naturalne n i k.

 

S(n,k)=\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin(n+\frac{s}{k})}{\sqrt[7]{nk^7+sk^6}

 

 

Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje skończona granica \lim_{k\rightarrow\infty}S(n,k). Granicę tę oznaczamy przez G_n. Wykaż  zbieżność ciągu G_n i znajdź jego granicę.

 

Nie wiem jak się do tego zabrac, więc proszę o pomoc


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.05.2014 - 20:03

Rozpisujemy k-tą sumę częściową i stosujemy twierdzenie  trzech ciągach:

 

 0\leq S_{n,k}=\frac{\sin\(n+\frac{1}{k}\)}{\sqrt[7]{nk^7+k^6}}+...+\frac{\sin\(n+\frac{k}{k}\)}{\sqrt[7]{nk^7+k^7}}\leq \frac{k}{k\sqrt[7]{n+1}}\leq \frac{1}{\sqrt[7]{n}}=G(n)\rightarrow 0 ,

gdy n\rightarrow \infty.


Użytkownik janusz edytował ten post 06.05.2014 - 20:20

  • 1

#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.05.2014 - 21:48

A jak to sformalizować ?

Skąd wiadomo że zbieżne dla każdej go naturalnego ?

Skąd wiadomo, że zbieżne ?


Pomyliłeś się chyba,

 

Co niby to pokazuje ? Nic co mi ma pomóc w tym zadaniu.


  • 0

#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 09:55

Co formalizować?

Z twierdzenia o trzech ciągach granica ciągu G(n) zależy od tylko od n i jest równa 0.

Kiedy jest ciąg zbieżny dla każdego naturalnego n?

Wtedy, gdy dla każdego takiego n istnieje jego granica skończona>


  • 1

#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 11:11

Cały czas wydaje mi się, że pokazujesz coś innego niż należy.

 

 

Wykazujesz zbieżność jakiejś sumy częściowej. Gdzie dowód na to, że S(n,k) zbiega do skończonej granicy?

 

Poproszę o szerszy komenatarz z odniesieniami do treści bo nie widzę jak się to ma do tej treści


  • 0

#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 13:33

Co to znaczy jakiejś sumy częściowej? Przecież masz daną sumę częściową szeregu od 1 do k. Suma szeregu, to granica jego sumy częściowej przy k \rightarrow \infty Czy zero to liczba nieskończona?


Użytkownik janusz edytował ten post 07.05.2014 - 13:33

  • 1

#7 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 15:07

S(n,k)=\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin(n+\frac{s}{k})}{\sqrt[7]{nk^7+sk^6}}
 
Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje skończona granica \lim_{k\rightarrow\infty}S(n,k) Granicę tę oznaczamy przez G_n. Wykaż  zbieżność ciągu G_n i znajdź jego granicę.


Będę chciał skorzystać z twierdzenia o sumach Riemanna(VII.2)
Dlatego takie "przygotowanie" pod założenia:

Chcemy przede wszystkim powiedzieć coś takiego:
Suma dana w zadaniu jest sumą Riemanna.

Ustalmy, że f(x)=\frac{sin(x+n)}{\sqrt[7]{x+n}}
Jest ciągła (iloraz ciągłych).
(licznik i mianownik to złożenia ciągłych)

Funkcja musi być określona na domkniętym przedziale. Więc ja wezmę przedział [0,1] (nie wiem czy to dobrze, w każdym bądź razie w tym przedziale funkcja jest określona)

S_n = \sum_{s=1}^{k}f(\frac{s}{k})\frac{1}{k}
To \frac{1}{k} to po prostu mnożenie razy długość podstawy prostokąta - w ten sposób określony podział gwarantuje zbieżność średnic do zera.

Na mocy VII.2, więc S_n\rightarrow \int_{[0,1]} f

A więc G_n = \frac{sin(x+n)}{\sqrt[7]{x+n}}

Dalej trzeba ustawić w ciągG_1, G_2, G_3, G_4,....
I znaleźć granicę. To będzie koniec zadania.

Z tą granicą to mógłbyś pomóc. :)
 


  • 0

#8 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 19:04

S(n,k)=\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin\(n+\frac{s}{k}\)}{\sqrt[7]{nk^7+sk^6}}=\frac{1}{k}\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin\(n+\frac{s}{k}\)}{\sqrt[7]{n+\frac{s}{k}}},

 

Z definicji całki Riemanna:

\lim_{k\to \infty}S(n,k)= \lim_{k\to \infty}\frac{1}{k}\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin\(n+\frac{s}{k}\)}{\sqrt[7]{n+\frac{s}{k}}} = \int_{0}^{1}\frac{\sin(n+x)}{\sqrt[7]{n+x}}dx,

 

0\leq \int_{0}^{1}\frac{\sin(n+x)}{\sqrt[7]{n+x}}dx \leq \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[7]{n+x}}dx= \frac{7}{6} \sqrt[7]{(n+x)^6}\|_{0}^{1}= \frac{7}{6}[\sqrt[7]{(n+1)^6}- \sqrt[7]{n^6}]=G(n).

\lim_{n\to \infty} G(n)= \lim_{n\to \infty} \frac{7}{6}(\sqrt[7]{(n+1)^6}- \sqrt[7]{n^6})=0.


Użytkownik janusz edytował ten post 07.05.2014 - 19:39

  • 1

#9 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 19:46

@janusz, dzięki Ci wielkie za zaangażowanie w ten wątek.

Powiedz mi czy dobrze ja pisałem - czy to jest łuszne. To że mi sie wydaje że ok, to nie znaczy jeszcze że dobrze.

Bo widzę, że robisz tak na prawdę to samo co i ja,

Ale to czego się boję okrutnie - zawężenie do [0,1]. Nie wiem dlaczego to jest OK (czy na pewno jest OK).

 

Generalnie ok to moje rozumowanie ?


  • 0

#10 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 20:04

Xawery. Twoje rozumowanie do miejsca obliczenia granicy ciągu jest poprawne.

Szkoda, że nie napisałeś na początku " Wykaż w oparciu o definicję całki Riemanna..."


Użytkownik janusz edytował ten post 07.05.2014 - 20:04

  • 0

#11 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 20:10

To nie było w treści powiedziane :)

 

A Ty obliczyłeś granicę, więc jest całe zadanie.

 

Ale dlaczego dostajemy inny wzór na G(n)  ?

 

W jaki sposób Ty tę grancię G(n) obliczasz ?


  • 0

#12 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 21:28

Bo granica  G(n) istnieje tylko z kryterium porównawczego całek.

Funkcja  \frac{\sin(x+n)}{\sqrt[7]{x+n} nie ma funkcji pierwotnej wyrażonej przez funkcje elementarne.

Wykazujesz, że granica ta jest równa 0, uzupełniając licznik i mianownik do różnicy a^7 -b^7. 


Użytkownik janusz edytował ten post 07.05.2014 - 21:30

  • 0

#13 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.05.2014 - 23:31

S(n,k)=\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin\(n+\frac{s}{k}\)}{\sqrt[7]{nk^7+sk^6}}=\frac{1}{k}\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin\(n+\frac{s}{k}\)}{\sqrt[7]{n+\frac{s}{k}}},

 

Z definicji całki Riemanna:

\lim_{k\to \infty}S(n,k)= \lim_{k\to \infty}\frac{1}{k}\sum_{s=1}^{k}\frac{\sin\(n+\frac{s}{k}\)}{\sqrt[7]{n+\frac{s}{k}}} = \int_{0}^{1}\frac{\sin(n+x)}{\sqrt[7]{n+x}}dx,

 

0\leq \int_{0}^{1}\frac{\sin(n+x)}{\sqrt[7]{n+x}}dx \leq \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[7]{n+x}}dx= \frac{7}{6} \sqrt[7]{(n+x)^6}\|_{0}^{1}= \frac{7}{6}[\sqrt[7]{(n+1)^6}- \sqrt[7]{n^6}]=G(n).

\lim_{n\to \infty} G(n)= \lim_{n\to \infty} \frac{7}{6}(\sqrt[7]{(n+1)^6}- \sqrt[7]{n^6})=0.

Jak dla mnie to szacujesz z dwóch stron przez ciągi zbieżne do zera.

Z lewej - jasne. Z prawej - szacowanie jest jasne, gorzej z wartością tej całki.

Potem masz ciąg, pokazujesz ze zbiega do zera. Na mocy twierdzenia o 3 ciągach..

tak ?


  • 0

#14 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.05.2014 - 15:51

 \int_{0}^{1}x^{-1/7}dx = \frac{x^{-1/7+1}}{-1/7+1} |_{0}^{1}=...

Tak, na mocy twierdzenia o trzech ciągach.


  • 0