Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Ciąg rekurencyjny.



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Azaks

Azaks

    Automatyk z zacięciem

  • ^Przyjaciele
  • 574 postów
18
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.04.2014 - 21:07

Ciąg an jest zdefiniowany rekurencyjnie:\{a1=-16\\ an+1=0,5*an

a)zbadaj monotoniczność ciągu,

b)wyznacz ogólny wyraz tego ciągu,

c)wyznacz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.04.2014 - 21:32

 a_{1}=-16, a_{2}=0.5\cdot (-16)=-8, a_{3}=0.5\cdot (-8)=-4,...,a_{n}=-16+(n-1)8=8n-24.

a_{n+1}-a_{n}=8(n+1)-24-8n+24= 8n+8-24-8n+24=8>0 -ciąg rosnący.

S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{-16+56}{2}\cdot10 =200. 

 

Dla pełności dowodu, zastosuj metodę indukcji zupełnej,  w celu pokazania,że wyraz ogólny ciągu określony jest wzorem  a_{n}=8n-24


  • 0

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.04.2014 - 21:36

\bl a_{n+1}=\frac12\cdot a_n\gr\ \Rightarrow\ jest to ciąg geometryczny o \ \re q=\frac12

 

\bl a_1<0\ \wedge\ q>0\gr\ \Rightarrow\ wszystkie wyrazy są ujemne

 

a)

ciąg jest stale rosnący

 

b)

\re a_n=a_1\cdot q^{n-1}

 

c)

S_{10}=a_1\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q}=-16\cdot\frac{1-\(\frac12\)^{10}}{1-\frac12}=-16\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac12}=-16\cdot2\cdot\frac{1023}{1024}\gr\ \Rightarrow\ \re S_{10}=-31\frac{31}{32}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.04.2014 - 22:44

Za to niedopatrzenie,  jestem winny Azaks dowód indukcyjny tego równania rekurencyjnego:

 a_{1}=-16, a_{2}=\cdot 0.5\cdot a_{1}, a_{3}=a_{2}\cdot 0.5 = a_{1}\cdot 0.5^2, ...,a_{n}=a_{1}\cdot 0.5^{n-1}=-16\cdot 0.5^{n-1}

 T(1): a_{1}=a_{1}\cdot 0.5^{0}=a_{1},

T(n)\rightarrow T(n+1):

a_{n+1}=0.5\cdot a_{n}= 0.5\cdot a_{1}0.5^{n-1}=a_{1}\cdot 0.5^{n}=-16\cdot 0.5^{n}

c.b.d.o

 

II sposób

rozwiązanie równania rekurencyjnego jednorodnego

a_{1}=-16, a_{n+1} -0.5a_{n}=0,

Równanie charakterystyczne

 r -0.5=0, r=0,5.

Rozwiązanie ogólne:

 a_{n}=C\cdot 0.5^{n-1}

 

Uwzględniając warunek początkowy:

a_{0}=-16=C\cdot 0.5^{1-1}, C=-16.

a_{n}=-16\cdot 0.5^{n-1}. 

 n=1,2...

 

 

 

 

 

 


  • 0