Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka oznaczona - obliczenie

całka oznaczona rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 woland88

woland88

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2014 - 14:35

Bardzo proszę o obliczenie ''krok po kroku'' całki oznaczonej

 

 \int_{0}^{ \pi /2}sinx \sqrt{1+ cos^{2}x }dx

 

metodą: najpierw wyliczenie nieoznaczonej, później podstawienie wg. Newtona - Leibiniza.

 

Pozdrawiam!


Użytkownik woland88 edytował ten post 30.03.2014 - 14:45

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2014 - 17:10

A może tak:

 

t=cos(x)   więc -dt=sin(x)dx

 

\int sin(x)\cdot \sqrt{1+cos^2(x)}dx=-\int \sqrt{1+t^2}dt

 

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} six(x)\cdot \sqrt{1+cos^2(x)}dx=-\int_{1}^{0}\sqrt{1+t^2}dt=\int_{0}^{1} \sqrt{1+t^2}dt

 

Pozostaje problem jak to rozwiązać. Można tak (obliczenia przeprowadzone dla zmiennej x i przy dowolnej stałej):

 

\int \sqrt{a+x^2}dx

 

\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\int \frac{a+x^2}{\sqrt{a+x^2}}dx=\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}+ \int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}}

 

 

Pierwsza z całek:

 

\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Podstawienie:

x+\sqrt{x^2+a}=t

 

\sqrt{x^2+a}=t-x                do kwadratu

 

x^2+a = t^2-2xt+x^2              czyli:

 

x=\frac{t^2-a}{2t}=\frac{1}{2}\(t-\frac{a}{t}\)

 

dx=\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt

 

\sqrt{x^2+a}=t-x      więc    \sqrt{x^2+a}=t-\frac{t^2-a}{2t}=\frac{t^2+a}{2t}          zatem Pierwsza całka wyniesie:

 

a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a \int \frac{\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt}{\frac{t^2+a}{2t}}=\frac{1}{2}\cdot a \int \frac{t^2+a}{t^2} \cdot \frac{2t}{t^2+a}dt=\frac{a}{2}\int \frac{2t}{t^2}dt=a\int \frac{dt}{t}=a\ln|t|+C=a\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C

 

\re\fbox{a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C}

 

Druga z całek:

 

\int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Przez części:

 

f(x)=x          g'(x)=\frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

f'(x)=1          g(x)=\sqrt{a+x^2}       ponieważ:       \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=2\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{2\sqrt{a+x^2}}=\sqrt{a+x^2}+C       \bl\fbox{\int \frac{h'(x)dx}{2\sqrt{h(x)}}=\sqrt{h(x)}+C

 

\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx

 

Czyli:

 

\int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx                     więc:

 

2\cdot \int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}

 

\re\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a+x^2} + C}

 

----------

 

Reasumując:

 

\int \sqrt{1+t^2}dx=\frac{1}{2}\cdot \ln|t+\sqrt{t^2+1}|+\frac{1}{2}\cdot t\cdot \sqrt{1+t^2} + C

 

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(x)\cdot \sqrt{1+cos^2(x)}dx=\int_{0}^{1} \sqrt{1+t^2}dt=\frac{1}{2}\cdot \ln|t+\sqrt{t^2+1}|+\frac{1}{2}\cdot t\cdot \sqrt{1+t^2}|^{1}_{0}=\frac{1}{2} ln(1+\sqrt{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Sprawdź obliczenia


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 30.03.2014 - 22:23

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 woland88

woland88

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2014 - 17:54

o holender, a da radę tym moim sposobem? zrobiłem na nim setki całek i wolałbym dalej nim klepać ;)


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.03.2014 - 22:19

Nie wiem co rozumiesz przez Twój sposób ale jeśli chodzi Ci o to, co napisałeś w treści zadania to to właśnie to:

 

Najpierw nieoznaczona a później wstawiłem granice całkowania. To, że funkcja podcałkowa nie dała się "prosto" policzyć to już inna sprawa.

 

Rozpisałem wydaje mi się dość dokładnie co i jak, mam nadzieje że rozumiesz przejścia - zatwierdź zielonym przyciskiem :) jeśli coś niejasnego pisz.

 

 

 

Można to zrobić jeszcze innym sposobem ale wymaga funkcji hiperbolicznych :) więc ten wydaje się bardziej zjadliwy :)


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską