Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

równanie z parametrem - dowieść, że ma 3 pierwiastki



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 wojteko22

wojteko22

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 8 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.02.2014 - 18:59

Wykaż, że dla każdego m\inR - {0} równanie -x^3 + x^2(2-m^2) + x(2m^2+4) - 8 = 0 ma 3 pierwiastki.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2014 - 21:10

\bl-x^3+x^2(2-m^2)+x(2m^2+4)-8=0

 

sprawdzam, czy jednym z pierwiastków tego równania jest \ x=2

-2^3+2^2(2-m^2)+2(2m^2+4)-8=-8+8-4m^2+4m^2+8-8=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x_1=2

 

-x^3+x^2(2-m^2)+x(2m^2+4)-8=-x^3+2x^2-m^2x^2+2m^2x+4x-8=-x^2(x-2)-m^2x(x-2)+4(x-2)=

=(x-2)(-x^2-m^2x+4)

 

(x-2)(-x^2-m^2x+4)=0\gr\ \Rightarrow\ -x^2-m^2x+4=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x^2+m^2x-4=0

 

\Delta=\(m^2\)^2-4\cdot1\cdot(-4)=m^4+16\gr\ \Rightarrow\ zawsze \Delta>0\gr\ \Rightarrow\ \bl x_2=\frac{-m^2-\sqrt{m^4+16}}{2}\ \ \ x_3=\frac{-m^2+\sqrt{m^4+16}}{2}

z tym, że dla \ \ m=0\ \ \ \ x_3=x_1

więc trzy różne pierwiastki równanie wyjściowe ma dla \re\ m\neq0

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.02.2014 - 22:00

Ze wzorów Viete'a dla równania wielomianowego trzeciego stopnia:

 x_{1}+x_{2}+x_{3}= 2-m^2 (1)

-(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})=2m^2+4 (2)

x_{1}x_{2}x_{3}=-8 (3)

 

Podstawiamy  do układu  równań (1)-(3) pierwszy ze  znalezionych  pierwiastków  x_{1}=2 ( jako dzielnik całkowity liczby -8).

 

Znajdujemy  wartości pozostałych pierwiastków w zależności od wartości parametru m.

 x_{2}=\frac{-m^2-\sqrt{m^4+16}}{2} \vee x_{2}=\frac{-m^2+\sqrt{m^4+16}}{2},

x_{3}= \frac{-m^2+sqrt{m^4+16}}{2}\vee x_{3}=\frac{-m^2-\sqrt{m^4+16}}{2}.

 

 


  • 0

#4 wojteko22

wojteko22

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 8 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.02.2014 - 22:56

\bl-x^3+x^2(2-m^2)+x(2m^2+4)-8=0

 

sprawdzam, czy jednym z pierwiastków tego równania jest \ x=2

-2^3+2^2(2-m^2)+2(2m^2+4)-8=-8+8-4m^2+4m^2+8-8=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x_1=2

 

-x^3+x^2(2-m^2)+x(2m^2+4)-8=-x^3+2x^2-m^2x^2+2m^2x+4x-8=-x^2(x-2)-m^2x(x-2)+4(x-2)=

=(x-2)(-x^2-m^2x+4)

 

(x-2)(-x^2-m^2x+4)=0\gr\ \Rightarrow\ -x^2-m^2x+4=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x^2+m^2x-4=0

 

\Delta=\(m^2\)^2-4\cdot1\cdot(-4)=m^4+16\gr\ \Rightarrow\ zawsze \Delta>0\gr\ \Rightarrow\ \bl x_2=\frac{-m^2-\sqrt{m^4+16}}{2}\ \ \ x_3=\frac{-m^2+\sqrt{m^4+16}}{2}

z tym, że dla \ \ m=0\ \ \ \ x_3=x_1

więc trzy różne pierwiastki równanie wyjściowe ma dla \re\ m\neq0

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 

Bardzo dziękuję! Tylko po co sprawdzać, czy jednym z pierwiastków równania jest 2, skoro to i tak wychodzi przy rozkładzie lewej strony na czynniki?


  • 0

#5 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2014 - 23:26

Po to, żeby wiedzieć jak ten wielomian rozłożyć na czynniki. 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 0

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..