Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Dla jakich wartości n prawdopodobienstwo - zadanie z arkusza maturalnego nr 3 - Zadanie 11.



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Pluszaty

Pluszaty

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 7 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.02.2014 - 13:17

Z urny, w ktorej znajduja sie kule o numerach 1,2,...,n (n>2), losujemy kolejno bez zwracania 2 kule. Numery wylosowanych kul tworza pare (x,y). Dla jakich wartości n prawdopodobienstwo tego, ze para (x,y) spelnia warunek |x-y|=2, jest mniejsze od 0,25?

 

 

Prosiłbym o rozpisanie kolejności wykonywanych  czynności, abym wiedział skąd się co bierze, dziękuje :).

Pozdrawiam Pluszaty.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.02.2014 - 23:42

Na chłopski zdrowy rozum :) zrób studium przypadków

 

dla 3 kul masz możliwości losowania:

(1,2), (1,3)

(2,3)

z czego tylko (1,3) pasuje więc P(A)=\frac{1}{3} za duże

 

 

dla 4 kul masz możliwości losowania:

(1,2), (1,3),(1,4)

(2,3), (2,4)

(3,4)

z czego (1,3), (2,4) pasuje więc P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} za duże

 

 

dla 5 kul masz możliwości losowania:

(1,2), (1,3),(1,4),(1,5)

(2,3), (2,4),(2,5)

(3,4), (3,5)

(4,5)

z czego (1,3), (2,4), (3,5) pasuje więc P(A)=\frac{3}{10} za duże

 

 

dla 6 kul masz możliwości losowania:

(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,3), (2,4),(2,5),(2,6)

(3,4), (3,5),(3,6)

(4,5), (4,6)

(5,6)

z czego (1,3), (2,4), (3,5), (4,6) pasuje więc P(A)=\frac{4}{15} za duże

 

 

 

dla 7 kul masz możliwości losowania:

(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7)

(2,3), (2,4),(2,5),(2,6),(2,7)

(3,4), (3,5),(3,6),(3,7)

(4,5), (4,6),(4,7)

(5,6), (5,7)

(6,7)

z czego (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7) pasuje więc P(A)=\frac{5}{21}<\frac{1}{4}

 

Zauważ, że każde prawdopodobieństwo wynosi P(A)=\frac{n-2}{\sum_{i=1}^{n-1}i} czyli będzie maleć wraz ze wzrostem n.

 

Odp. Od 7 kul w urnie prawdopodobieństwo jest mniejsze od \frac{1}{4}. No odpowiedz jeszcze dopracuj :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.02.2014 - 23:42

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.02.2014 - 15:06

Można też to zrobić graficznie. Miałem zbyt dużo wolnego czasu, więc zrobiłem przykładowy rysunek :P Wystarczy, że naszkicujesz układ współrzędnych, gdzie każda z osi będzie reprezentowała wylosowany numer. Wobec tego wszystkie możliwości wylosowania dwóch numerów to będą współrzędne układające się w "kwadrat":

 

rys.png

 

Wszystkie możliwe punkty znajdują się w zielonym obszarze. Z wyjątkiem oczywiście tych białych "kółeczek", bo kule są losowane bez zwracania.

 

Skoro x i y muszą spełniać |y-x|=2, to y=x+2 lub y=x-2. A to są właśnie te czerwone proste na rysunku.

 

I teraz nic tylko liczyć :) Wszystkich możliwych przypadków jest n\cdot n - n, czyli ilość wszystkich punktów w kwadracie o bokach zawierających n punktów minus punkty y=x, których jest n. Na obu czerwonych kreskach jest po n-2 punktów. Tak więc prawdopodobieństwo to:

 

P(A)\quad=\quad \frac{2(n-2)}{n^2 - n}

 

Można ułożyć nierówność kwadratową i wyjdzie, że właśnie dla każdego n\geq 7 mamy P(A) < 0,25 :)


  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=