Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

analiza funkcji



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.02.2014 - 15:13

Witam,
Mamy dość skomplikowaną funkcję, tzn:
\phi:R\rightarrow(P(N)\rightarrow P(N))
R to rodzina wszystkich relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych.


\phi(r)(A) = \bigcup\{[x]_r | x \in A\}

Mamy sprawdzić, czy funkcja \phi jest różnowartościowa na razie tylko.

Jako, że nie mam pewności to podam swój tok rozumowania.

No mamy po prostu sprawdzić, czy funkcja dla różnych relacji zwraca różne funkcje.

Rozważmy dwie różne relacje równoważności w zbiorze N
r_1 = \equiv_3
r_1 = \equiv_2

Oczywiście chodzi o kongruencję.

No mamy, że r_1 \neq r_2
Niech teraz:
f =\phi(r_1)
g=\phi(r_2)
Tzn f i g to funkcje z podzbioru liczb naturalnych w podzbiór liczb naturalnych.
Jeśli okaże się, że są one równe, to \phi nie jest różnowartościowa (na razie tego nie wiem, wziąłem przykład żeby zobaczyć co się dzieje).
No i te funkcje chyba nie są równe,
co prawda
f\left(\{1,2,3\}\right)=g\left(\{1,2,3\}\right) =N
Ale jednak:
f\left(\{1\}\right)=\{1,4,7,....\}\neq g\left(\{1\}\right)=\{1,3,5,...\}

Czyli, że te funkcje jednak nie są równe tak więc na razie nic nie pokazałem, tylko zobaczyłem na przykładzie, że są "zaczątki", że może jednak jest różnowartościowa.
Czy moje rozumowanie tutaj jest właściwe ? Jest niepoprawne ?

 

 

 

Ale teraz mi do głowy przyszło pewne rozumowanie,

niech r_1\neq r_2

Wówczas

<x,y>\in r_1-r_2

tzn,

<x,y>\in r_1 oraz <x,y>\notin r_2

Niech teraz

f_1=\phi(r_1)

f_2=\phi(r_2)

Teraz pytanie, na które musimy sobie odpowiedzieć, to czy zachodzi implikacja:
r_1\neq r_2\Rightarrow f_1\neq f_2

Tzn, trzeba powiedzieć czy te funkcje są równe, jeśli nie są to mamy, że implikacja zachodzi. Co trzeba, żeby zanegować równość funkcji ? Wskazać miejsce w którym nie są równe.

Weźmy więc taki zbiór A

że

x\in A oraz y \notin A

Wówczas:

y\in f_1(A)

zaś

y\notin f_2(A)

Jak widać, te funkcje nie są równe, w takim razie:

\phi jest różnowartościowa.

 

 

To jest OK ?

 

Może ktoś uważnie moje wnioskowanie (cały post) przeczytać i zobaczyć czy moje myślenie ma sens ?

 

 

 

Teraz jeszcze jedna rzecz mi się wydaje - powyższe jest prawidłowe, ale musimy jedną rzecz dodać, że zbiór A=\{x\}, tzn że nie ma w nim żadnych innych elementów.


Użytkownik xawery edytował ten post 08.02.2014 - 15:17

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.02.2014 - 11:32

Teraz jeszcze jedna rzecz mi się wydaje - powyższe jest prawidłowe, ale musimy jedną rzecz dodać, że zbiór A=\{x\}, tzn że nie ma w nim żadnych innych elementów.

 

Tak będzie dobrze. Ogólnie A ma zawierać x i nie może zawierać żadnego elementu, który byłby w relacji z y (oczywiście chodzi mi tu o tę drugą relację). Dokładnie wtedy y nie będzie w obrazie (\phi(r_2))(A), a będzie w obrazie (\phi(r_1))(A). Na samym początku dodaj słowo "istnieje".


  • 0





Tematy podobne do: analiza funkcji     x