Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Kwadraty liczb całkowitych



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 PAK

PAK

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 189 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 18:51

Udowodnij że żaden element zbioru S=\left{6n+2 :n\in N \right} nie jest kwadratem liczby całkowitej 

 

(Zadanie z byłego już I etapu AGH )


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 20:57

Załóżmy, że       6n+2,       n\in N        jest kwadratem pewnej liczny całkowitej k, zatem

 

6n+2=k^2   k\in Z

 

6n=k^2-2

 

n=\frac{k^2-2}{6}=\frac{k^2}{6}-\frac{1}{3}, więc

 

n=\frac{k^2}{6}-\frac{1}{3}

 

teraz tylko wystarczy dowieść że k^2 dzielone przez 6 nie daje reszty 2 (bo wtedy n było by naturalne)

 

innymi słowy, że k^2-2 nie dzieli się przez 6


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.02.2014 - 20:58

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 PAK

PAK

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 189 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 21:49

A jak dalej udowodnić że 6 nie dzieli k^2 - 2.Bo sprawdzam po kolei wszystkie postacie liczby k :6a,6a+1,6a+2,6a+3,6a+4,6a+5 (a\in Z) i wychodzi mi że nie zachodzi podzielność.Dobrze ? A jeśli tak to jest jakiś szybszy sposób ?


  • 0

#4 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 22:16

Można przez reszty kwadratowe. Reszty kwadratowe modulo 6 to 0, 1, 3 i 4, wobec tego k^2-2 nigdy nie jest podzielne przez 6.


  • 1
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 22:21

Można użyć indukcji matematycznej albo kongruencji, ale ja może zrobię tak:

 

sprawdźmy kilka początkowych liczb (coś jakby pierwszy krok indukcyjny)

 

dla n=2 mamy 2^2-2=2        nie dzieli się przez 6,     2 dzielone przez 6 = 0 reszty 2

 

dla n=3 mamy 3^2-2=7        nie dzieli się przez 6,     7 dzielone przez 6 = 1 reszty 1

 

dla n=4 mamy 4^2-2=14       nie dzieli się przez 6,    14 dzielone przez 6 = 2 reszty 2

 

dla n=5 mamy 5^2-2=23        nie dzieli się przez 6,     23 dzielone przez 6 = 3 reszty 5

 

dla n=6 mamy 6^2-2=34        nie dzieli się przez 6,     34 dzielone przez 6 = 5 reszty 4

 

dla n=7 mamy 7^2-2=47        nie dzieli się przez 6,     47 dzielone przez 6 = 7 reszty 5

 

dla n=8 mamy 8^2-2=62        nie dzieli się przez 6,     62 dzielone przez 6 = 10 reszty 2

 

dla n=9 mamy 9^2-2=79        nie dzieli się przez 6,     79 dzielone przez 6 = 13 reszty 1

 

dla n=10 mamy 10^2-2=98        nie dzieli się przez 6,     98 dzielone przez 6 = 16 reszty 2

 

dla n=11 mamy 11^2-2=119        nie dzieli się przez 6,     119 dzielone przez 6 = 19 reszty 5

 

dla n=12 mamy 12^2-2=142        nie dzieli się przez 6,     142 dzielone przez 6 = 23 reszty 4

 

dla n=13 mamy 13^2-2=167        nie dzieli się przez 6,     167 dzielone przez 6 = 27 reszty 5

itd.

 

Zrobiłem aż tyle by dokładnie pokazać, że sekwencja reszt się powtarza. A skoro są reszty to oczywiście nie zachodzi podzielność. Są to jedyne reszty jakie mogą wyjść.

 

Ale jak mówiłem możesz też użyć indukcji.

 

Będziesz miał na koniec do udowodnienia, że (n+1)^2-2 nie dzieli się przez 6, czyli że n^2+2n-1  nie dzieli się przez 6.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.02.2014 - 22:23

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 krolikbuks

krolikbuks

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 65 postów
28
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.03.2014 - 19:37

można dużo prościej.

Przypuśćmy, że jakaś liczba postaci 6k + 2 jest kwadratem liczby całkowitej.

Łatwo zauważyć, że kwadrat liczby całkowitej daje resztę przy dzieleniu przez 3 równą 0 lub 1. Natomiast 6k + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 czyli sprzeczność,  a więc żadna liczba postaci 6k + 2 nie jest kwadratem liczby całkowitej


Użytkownik krolikbuks edytował ten post 06.03.2014 - 19:37

  • 0