Udowodnij że żaden element zbioru nie jest kwadratem liczby całkowitej
(Zadanie z byłego już I etapu AGH )
Napisano 04.02.2014 - 18:51
Udowodnij że żaden element zbioru nie jest kwadratem liczby całkowitej
(Zadanie z byłego już I etapu AGH )
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 04.02.2014 - 20:57
Załóżmy, że , jest kwadratem pewnej liczny całkowitej k, zatem
6n=k^2-2
, więc
teraz tylko wystarczy dowieść że dzielone przez 6 nie daje reszty 2 (bo wtedy n było by naturalne)
innymi słowy, że nie dzieli się przez 6
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.02.2014 - 20:58
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
Napisano 04.02.2014 - 21:49
A jak dalej udowodnić że nie dzieli .Bo sprawdzam po kolei wszystkie postacie liczby : () i wychodzi mi że nie zachodzi podzielność.Dobrze ? A jeśli tak to jest jakiś szybszy sposób ?
Napisano 04.02.2014 - 22:16
Można przez reszty kwadratowe. Reszty kwadratowe modulo 6 to 0, 1, 3 i 4, wobec tego nigdy nie jest podzielne przez 6.
Napisano 04.02.2014 - 22:21
Można użyć indukcji matematycznej albo kongruencji, ale ja może zrobię tak:
sprawdźmy kilka początkowych liczb (coś jakby pierwszy krok indukcyjny)
dla n=2 mamy nie dzieli się przez 6, 2 dzielone przez 6 = 0 reszty 2
dla n=3 mamy nie dzieli się przez 6, 7 dzielone przez 6 = 1 reszty 1
dla n=4 mamy nie dzieli się przez 6, 14 dzielone przez 6 = 2 reszty 2
dla n=5 mamy nie dzieli się przez 6, 23 dzielone przez 6 = 3 reszty 5
dla n=6 mamy nie dzieli się przez 6, 34 dzielone przez 6 = 5 reszty 4
dla n=7 mamy nie dzieli się przez 6, 47 dzielone przez 6 = 7 reszty 5
dla n=8 mamy nie dzieli się przez 6, 62 dzielone przez 6 = 10 reszty 2
dla n=9 mamy nie dzieli się przez 6, 79 dzielone przez 6 = 13 reszty 1
dla n=10 mamy nie dzieli się przez 6, 98 dzielone przez 6 = 16 reszty 2
dla n=11 mamy nie dzieli się przez 6, 119 dzielone przez 6 = 19 reszty 5
dla n=12 mamy nie dzieli się przez 6, 142 dzielone przez 6 = 23 reszty 4
dla n=13 mamy nie dzieli się przez 6, 167 dzielone przez 6 = 27 reszty 5
itd.
Zrobiłem aż tyle by dokładnie pokazać, że sekwencja reszt się powtarza. A skoro są reszty to oczywiście nie zachodzi podzielność. Są to jedyne reszty jakie mogą wyjść.
Ale jak mówiłem możesz też użyć indukcji.
Będziesz miał na koniec do udowodnienia, że nie dzieli się przez 6, czyli że nie dzieli się przez 6.
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.02.2014 - 22:23
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
Napisano 06.03.2014 - 19:37
można dużo prościej.
Przypuśćmy, że jakaś liczba postaci 6k + 2 jest kwadratem liczby całkowitej.
Łatwo zauważyć, że kwadrat liczby całkowitej daje resztę przy dzieleniu przez 3 równą 0 lub 1. Natomiast 6k + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 czyli sprzeczność, a więc żadna liczba postaci 6k + 2 nie jest kwadratem liczby całkowitej
Użytkownik krolikbuks edytował ten post 06.03.2014 - 19:37