Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Znajdywanie macierzy przekształcenia



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
7 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 10:47

Witam,

Np. Gdy ktoś nam każde znaleźć macierz przekształcenia na płaszczyźnie - tzn powiedzmy odbicie względem osi X.

To biorę, bazę kanoniczna [0,1] i [1,0]

no i myślę, na obrazku jak te wektory przejdą:

no więc tak:

f([1,0]) = [1,0]

f([0,1]) = [0,-1]

 

Wyrażam z powrotem w bazie kanonicznej:
[1,0] = 1[1,0] + 0[0,1]

[0,-1] = 0[1,0] -1[0,1]

 

Uzupełniam macierz:

1   0

0   -1

 

I faktycznie mnożenie tą macierzą z lewej wektora daje jego symetrią względem osi X.

 

 

Pokazałem w jaki ja sposób umiem szukać  macierzy przekształcenia. Problem zaczyna sie jednak gdy mamy znaleźć macierz przekształcenia symetrii wektora względem płaszczyzny zadanej wzorem.

Czyli jesteśmy teraz w 3D. Chciałbym podobnie. Wziąć bazę kanoniczną, znaleźć odbicia symetryczne każdego z wektorów i uzupełnić macierz.

Póki co pomijając już znalezienie nawet tych wzorów na odbicie - czy ta metoda jest prawidłowa ? Czy podobnie jak w przypadku przykładu w R2 też będzie działać ?


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.02.2014 - 21:11

Tak, dla dowolnego odwzorowania liniowego macierz tworzysz wpisując w kolejnych kolumnach współczynniki wartości odwzorowania na kolejnych wektorach bazowych.

 

Można by też spróbować w inny sposób, zaczynając od znalezienia takiej bazy, na której odwzorowanie działa w "prosty" sposób (tak naprawdę to będą wektory własne). Do macierzy w bazie kanonicznej będzie wtedy można dojść za pomocą macierzy przejścia.

Jak w podanym przez Ciebie przykładzie znaleźć te wektory własne? Powinno to być łatwe, jeśli zauważysz, że odbicie względem płaszczyzny ma dwie wartości własne: 1 (krotności 2) i -1. Wektor własny odpowiadający wartości -1 to wektor prostopadły do płaszczyzny, a wektory odpowiadające wartości 1 to wektory rozpinające płaszczyznę.


  • 1

#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.02.2014 - 21:55

Ja jednak bym chciał żebyśmy wyprowadzili wzór rzut wektora na podprzestrzeń, która przechodzi przez (0,0,0)

Tzn, gdybyśmy poznali taki wzór, moglibyśmy przekształcić bazowe tym wzorem (powiedzmy R3) i byłoby wszystko ok - łatwo juz wtedy znaleźć macierz,

 

To co umiem to rzucić prostopadle wektor na płaszczyznę.


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.02.2014 - 00:23

Czyli ma być rzut czy odbicie? (oczywiście jedno z drugim jest powiązane).

 

Jakiekolwiek jest to przekształcenie, jeśli potrafisz podać jego wzór typu:

 

f(x,y,z)=(ax+by+cz,dx+ey+fz,gx+hy+iz)

 

to od razu możesz napisać jego macierz w bazach standardowych: 

 

\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}

 

(tj. możesz to zapamiętać jako regułę bez odwoływania się do definicji macierzy odwzorowania).

 

I jeszcze jedna uwaga:

 biorę, bazę kanoniczna [0,1] i [1,0]

W definicji bazy zakłada się, że jest to po prostu podzbiór przestrzeni. Jednak jeśli chcesz wyznaczać macierze odwzorowań, musisz traktować bazę jako zbiór uporządkowany. W tym sensie to co napisałeś to nie jest baza standardowa. Potem wszystko piszesz prawidłowo.

 


  • 0

#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.02.2014 - 00:42

Tak co do tej uwagi o kolejności bazy to ok.

 

 

 

No powiedzmy np, że musimy wykonać cos takiego:

 

Znajdź macierz przekształcenia będącego symetrią względem płaszczyzny x1 + x2 + x3 = 0. R3 nas interesuje

Widać, że ta płaszczyzna przechodzi przez (0,0,0) - po prostu spełnia równanie ten punkt.

 

Zrobimy tak:

1. Weźmiemy bazę przestrzeni x1 + x2 + x3 = 0.

2. Zortonormalizujemy ją.

3. Rzucimy na nią wektor  x =  [x1,x2,x3], otrzymując x*

4. Policzymy że y = x* - ( x-x*).

y jest w tej chwili wzorem na symetrię wektora względem płaszczyzny.

Możemy juz odczytać macierz w bazie std.

 

 

Ok to jest ? Ja wiem, że Ty jakieś zaawansowane rozwiązanie opisałeś, ale czy takie będzie w porządku ?


Użytkownik xawery edytował ten post 06.02.2014 - 00:47

  • 0

#6 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2014 - 09:43

Twoje rozwiązanie jest OK.

 

A moje rozwiązanie wcale nie jest takie trudne. Bierzemy dwa wektory bazy tej podprzestrzeni - Ty też wykonujesz ten krok. Powiedzmy, że będą to (1,0,-1) i (0,1,-1). Ostatni wektor to wektor prostopadły do płaszczyzny - jego współczynniki odczytujemy z równania płaszczyzny: (1,1,1). W takiej bazie nasze odwzorowanie ma macierz:

 

M=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}

 

Czyli wyznaczyliśmy bazę Jordana. Musimy tylko zmienić bazę na standardową. Tworzymy macierz przejścia z naszej bazy do standardowej wpisując wektory w kolumnach:

 

P=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{bmatrix}

 

i teraz żeby mieć macierz odwzorowania w bazie standardowej to najpierw zamieniamy bazę ze standardowej na bazę Jordana, potem działamy macierzą M i na końcu wracamy do bazy standardowej. Zapisujemy to od prawej do lewej, czyli trzeba policzyć PMP^{-1}. Wychodzi:

\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1&-2&-2\\-2&1&-2\\-2&-2&1\end{bmatrix}

 

 

To może jeszcze inny sposób. Zauważyłeś, że jeśli \pi(x) oznacza rzut, to odbicie danej jest wzorem x\mapsto -x+2\pi(x). Dla dowolnej podprzestrzeni można stworzyć macierz rzutu w następujący sposób. Niech A będzie macierzą, której kolumnami są wektory rozpinające tę podprzestrzeń. Wtedy macierzą rzutu jest A(A^TA)^{-1}A^T (gdybyś miał bazę ortonormalną to wystarczyłoby AA^T, ale raczej nie opłaca się przeprowadzać ortonormalizacji). A więc macierzą odbicia będzie -I+2A(A^TA)^{-1}A^T (wynik wyszedł mi ten sam).


  • 0

#7 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2014 - 09:54

Słuchaj, a macierz rzutu zadanego wzorem łatwo jest znaelźć? Wymaaga się, aby ta maceirz była diagonalna


  • 0

#8 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2014 - 10:42

Słuchaj, a macierz rzutu zadanego wzorem łatwo jest znaelźć? Wymaaga się, aby ta maceirz była diagonalna

Napisz dokładniej o co chodzi. I może lepiej w nowym wątku.


  • 0