Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

formy hermitowskie + liczby zespolone



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.02.2014 - 22:34

 
Dla jakich a,b \in C odwzorowanie \psi:\C^2\times C^2--->C jest formą hermitowską.
\psi(\vec{x},\vec{y})=\overline{ax_1-(2-i)x_2)}(-iy_1+by_2)
\overline{\psi(\vec{y},\vec{x})}=\overline{ay_1-(2-i)y_2)}(-ix_1+bx_2)
 
Znowu do sprawdzenia dwa warunki, ale my sprawdzimy jeden.
Znowu będę wnioskował na podstawie równości współczynników przy tych samych wyrażeniach.
Otrzymam, że
a=-i
b=-2+i
Tylko teraz tak, czy to jest dobrze obliczone ? Jeśli mamy znaleźć macierz hermitowską teraz w bazie std, tzn e1, e2.
 
No i tutaj muszę poprosić o wskazówkę, jaka to jest macierz standardowa a przypadku zespolonym?
Czy jest to,
e1 = ((1,0), (0,0))
e2 = ((0,0), (1,0))
?
Tzn nie wiadomo ile to jest 1 w przypadku zespolonym :D
 

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 10:35

Jak to nie wiadomo? 1 to 1 :) Standardowa baza to (1,0), (0,1). Jeżeli chcesz sięgać do definicji liczb zespolonych jako iloczynu kartezjańskiego ze specjalnie określonym mnożeniem, to jedynką jest (1,0) (co zresztą musisz wykazać, żeby wiedzieć że \mathbb{C} jest ciałem).

 

Jeśli dobrze wyliczyłeś a i b (nie sprawdzałem) to powinieneś dostać macierz:

 

\begin{bmatrix}1&-2i-1\\2i-1&5\end{bmatrix}


  • 1

#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 10:40

Nie wiem za bardzo jak otrzymałeś tą macierz:

Czy powinienem ją otrzymać następująco:

Podstawić wyliczone a i b. Wykonać sprzężenie które jest we wzorze na formę.

Wykonać mnożenie wzoru tej formy (już po sprzężeniu - pozbyciu się kreski górnej :) )

Wymnożę - dostanę teraz postać "generalną" formy.

Czy mam postępować tak jak w poprzednim wątku z uzupełnianiem macierzy ?


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.02.2014 - 21:48

To może zrobię rachunki od początku:

 

\psi(x,y)=\overline{(ax_1-(2-i)x_2)}(-iy_1+by_2)=-i\overline{a}\overline{x_1}y_1+\overline{a}b\overline{x_1}y_2+(2i-1)\overline{x_2}y_1-(2+i)b\overline{x_2}y_2

 

Mamy równania: -i\overline{a}=ia, (2+i)b=(2-i)\overline{b}, \overline{a}b=-1-2i. Z pierwszego mamy \mathrm{Re}(a)=0, zatem istnieje c\in \mathbb{R} takie, że a=ci. Dalej z trzeciego -cib=-1-2i czyli c\neq 0 oraz b=\frac{1}{c}(2-i). Wstawiamy do drugiego i wychodzi: (2+i)\frac{1}{c}(2-i)=(2-i)\frac{1}{c}(2+i) czyli niczego się więcej o c nie dowiemy (może być dowolne różne od zera). 

 

Zatem a=ci, b=\frac{1}{c}(2-i) i podstawiając do wzoru otrzymamy:

 

\psi(x,y)=-c\overline{x_1}y_1-(1+2i)\overline{x_1}y_2+(2i-1)\overline{x_2}y_1-\frac{5}{c}\overline{x_2}y_2

 

Z powyższego wzoru odczytujemy współczynniki macierzy:

 

\begin{bmatrix}-c&-1-2i\\2i-1&-\frac{5}{c}\end{bmatrix}


  • 0

#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.02.2014 - 11:02

Nie rozumiem skąd bierzesz te równania:

 

 

 

\psi(x,y)=\overline{(ax_1-(2-i)x_2)}(-iy_1+by_2)=-i\overline{a}\overline{x_1}y_1+\overline{a}b\overline{x_1}y_2+(2i-1)\overline{x_2}y_1-(2+i)b\overline{x_2}y_2

No, pewnie że tak, musimy teraz rozpisać drugie, tzn:

 

\psi(y,x)=\overline{(ay_1- (2-i)y_2)}(-ix_1+bx_2)=-\overline{ay_1}ix_1+\overline{ay_1}bx_2+\overline{(2-i)y_2}(ix_1)-\overline{(2-i)y_2}bx_2.

 

 

No i teraz patrzmy uważnie,

Nie potrafię wyciągnąć żadnego wniosku, a to z prostej przyczyny, mianowicie:

Chcemy, aby przy tych samych iloczynach x_1y_1 np. stały te same współczynniki, prawda? Wobec tego popatrzmy, np, na:
-\overline{ay_1}ix_1

Żądamy, aby

-\overline{a}i było równe współczynnikowi stojącemu przy tym samym, tzn \overline{y_1}x_1 były takie same.

Ale w drugim równaniu nie ma takiego wyrażenia, jest podobne, ale z inaczej rozstawionym sprzężeniem, nie mogę więc mówić, że coś jest równe, Skąd więc Twoje równania ?


Ehhh, już rozumiem, (zapomniałem, że tam jest sprzężenie nad wszystkim, wtedy Twoje równania są ok, ale jednak chyba o jednym równaniu zapomniałeś:

 

a\overline{b} = 2i-1

Ale nakładając stronami sprzężenie:

\overline{a}b=-2i-1

I okazuje się, że nie zapomniałeś, ale pominąłeś bo jest to to samo równanie, które już napisałeś.

 

Ehh, niby łatwe, ale dało w kość.

Jeszcze jedno - faktycznie c jest dowolne, ale czy błędem będzie wiec wzięcie za c np 1.

żeby Ładnej uzupełnić macierz np.

 

 


Użytkownik xawery edytował ten post 06.02.2014 - 09:58

  • 0

#6 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2014 - 21:02

czy błędem będzie wiec wzięcie za c np 1.

żeby Ładnej uzupełnić macierz np.

Jeśli w zadaniu masz odpowiedzieć, dla jakich a,b zachodzi jakaś własność, to powinieneś podać wszystkie takie a i b. Dlatego nie możesz sobie przyjąć że c ma jakąś konkretną wartość. Inaczej byłoby, gdyby było np. pytanie "czy istnieją a i b..." - wtedy wystarczyłby jeden przykład.


  • 0