Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Całka - Całka z pierwiastka - ciekawe podstawienie (5)

Całka Całka z pierwiastka Całka przez podstawienie Całka z sinus w mianowniku rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.02.2014 - 01:37

*
Najwyższa ocena

\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx

 

Podstawienie:

 

x=\sqrt{a}sin(t)                    więc                   dx=\sqrt{a}cos(t)dt                   a                   t=arcsin\(\frac{x}{\sqrt{a}}\)

 

zatem:

 

\sqrt{a-x^2}=\sqrt{a-a\cdot sin^2(t)}=\sqrt{a\cdot\(1-sin^2(t)\)}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{1-sin^2(t)}=\sqrt{a}\cdot cos(t)

 

\sqrt{1-sin^2(t)}=cos(t)                       \vee                \sqrt{1-sin^2(t)}=-cos(t). Dla uproszczenia zapisu przyjmiemy cos(t).

 

a wracając do całki mamy:

 

\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx=\int\frac{\sqrt{a}\cdot cos(t)}{\sqrt{a}\cdot sin(t)}\cdot \sqrt{a}cos(t)dt=\sqrt{a}\cdot \int \frac{cos^2(t)}{sin(t)}dt=\sqrt{a}\cdot \int \frac{1-sin^2(t)}{sin(t)}dt=\sqrt{a}\cdot \int\frac{1}{sin(t)}dt-\sqrt{a}\cdot \int \frac{sin^2(t)}{sin(t)}dt

 

Druga z całek:

 

-\int \frac{sin^2(t)}{sin(t)}dt=-\int sin(t)dt=\int -sin(t)dt=cos(t)+C

 

Pierwsza z całek:

 

\int\frac{1}{sin(t)}dt

 

                                              Podejście I

 

Wykorzystując wzór \bl{\fbox{2\cdot sin(u)\cdot cos(u)=sin(2u)}}                 oraz wzór                  \bl{\fbox{tg(u)=\frac{sin(u)}{cos(u)}}}

 

sin(t)=2\cdot sin(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2})=2\cdot cos(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2})\cdot \frac{sin(\frac{t}{2})}{cos(\frac{t}{2})} =2\cdot cos^2\(\frac{t}{2}\)\cdot tg\(\frac{t}{2}\)

 

zatem:

 

\int\frac{1}{sin(t)}dt=\int \frac{dt}{2\cdot sin(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2})}=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{dt}{cos^2\(\frac{t}{2}\)\cdot tg\(\frac{t}{2}\)}

 

Teraz podstawiamy          k= tg\(\frac{t}{2}\)         dk=\frac{dt}{2\cdot cos^2\(\frac{t}{2}\)}         więc:

 

\frac{1}{2}\cdot\int \frac{dt}{cos^2\(\frac{t}{2}\)\cdot tg\(\frac{t}{2}\)}=\int\frac{dk}{k}=ln|k|+C=ln|tg\(\frac{t}{2}\)|+C

 

więc:                                              \fbox{\fbox{\int\frac{1}{sin(t)}dt=ln|tg\(\frac{t}{2}\)|+C}}

 

 

                                              Podejście II

 

\int\frac{1}{sin(t)}dt=\int\frac{sin(t)}{sin^2(t)}dt=\int\frac{sin(t)}{1-cos^2(t)}dt

 

I stosując podstawienie:                        j=cos(t)                            dj=-sin(t)dt                            mamy:

 

\int\frac{sin(t)}{1-cos^2(t)}dt=\int\frac{-dj}{1-j^2}=\int\frac{dj}{j^2-1}=\int\frac{dj}{(j-1)(j+1)}

 

Teraz rozkładając na ułamki proste:

 

\frac{dj}{(j-1)(j+1)}=\frac{A}{j-1}+\frac{B}{j+1}            dosteniemy            \{A=\frac{1}{2}\\B=-\frac{1}{2}

 

\int\frac{dj}{j^2-1}=\frac{dj}{(j-1)(j+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{j-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{j+1}=\frac{1}{2}\int \frac{dj}{j-1}-\frac{1}{2}\int\frac{dj}{j+1}=\frac{1}{2}ln|j-1|-\frac{1}{2}ln|j+1|+C=\frac{1}{2}\(ln|j-1|-ln|j+1|\)+C=\frac{1}{2}\(ln|cos(t)-1|-ln|cos(t)+1|\)+C

 

więc:                                              \fbox{\fbox{\int\frac{1}{sin(t)}dt=\frac{1}{2}\(ln|cos(t)-1|-ln|cos(t)+1|\)+C

 

Naniesiono drobne acz istotne poprawki w wyniku wykrycia nieciągłości przez @bb314. Dzięki za czujność ;).

 

Oba rozwiązania są oczywiście poprawne choć dają "teoretycznie" różne wyniki. Poprawność można zbadać obliczając pochodną obu wyrażeń lub stosując kilka przekształceń wykorzystując wzory trygonometryczne wyprowadzić jedno rozwiązanie z drugiego.

 

Reasumując:

 

\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx=\sqrt{a}\cdot \int\frac{1}{sin(t)}dt-\sqrt{a}\cdot \int \frac{sin^2(t)}{sin(t)}dt=\sqrt{a}ln|tg\(\frac{t}{2}\)|+\sqrt{a}cos(t)+C

 

a wracając do wyjściowych zmiennych:

 

\fbox{\fbox{\re{\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx=\sqrt{a}ln\|tg\(\frac{arcsin\(\frac{x}{\sqrt{a}}\)}{2}\)\|+\sqrt{a}\cdot cos (arcsin(\frac{x}{\sqrt{a}}))+C}}}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.02.2014 - 01:25

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4728
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 03.02.2014 - 22:48

 

więc:                                              \fbox{\fbox{\int\frac{1}{sin(t)}dt=\frac{1}{2}ln\(\frac{cos(t)-1}{cos(t)+1}\)+C}}

 

 

To chyba skutek pracowania do 1:38, gdyż dziedzina funkcji \bl\ \ \ \ln\(\frac{\cos(t)-1}{\cos(t)+1}\)\ \ \ \ \re D=\emptyset

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 01:29

Dzięki za czujność ;).

 

 

No tak moduł to nie do końca nawias. Jeszcze to sprawdzę o normalnej porze. Jak byś coś jeszcze znalazła pisz - ułatwisz poszukiwania.

 

pozdrawiam


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4728
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 04.02.2014 - 14:23

W w/w przypadku wystarczyło zapisać \bl\ \ \ \ln\frac{1-\cos(t)}{1+\cos(t)}\ \ \ \ i wszystko gra - \bl\ \ D=\mathbb{R}\backslash\{k\p\}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   :shifty: \   :shifty:

Użytkownik bb314 edytował ten post 05.02.2014 - 12:27

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..