Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Przekształcenie liniowe



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.01.2014 - 14:10

Witam,

Mamy przekształcenie liniowe F: R[x]_3 -> \RR^3

 

F(1+x)=[1,1,-2]

 

F(1-x)=[1,0,1]

 

F(x+2x^2-x^3)=[3,1,0]

 

F(x+2^x+x^3)=[2,3,-7]

 

Czy istnieje podprzestrzeń liniowa V\subset R[x]_3 taka, że  f_{|_V}\in L(V,R^3) jest izomorfizmem V i przestrzeni R^3

 

I teraz najpierw pytanie, czy dobrze to pojmuję.

W zadaniu jest pytanie czy istnieje jakaś podprzestrzeń przestrzeni R[x]_3 taka, że

funkcja ograniczona (w sensie dziedziny) do tej podprzestrzeni jest izomorfizmem w stosunki do V[/tex] (tej podprzestrzeni) i R[x]_3.

 

No więc jak twierdzę, że weźmy jakąś bazę R[x]_3.

No np.   (1+x, x^2, x^3)

Jest to baza jakiejś podprzestrzeni - nie wiem jakiej, ale mnie to nie obchodzi zbytnio.

A wektory są liniowo niezależne bo mają różny stopień.

 

Gdyby teraz okazało się, że F(1+x)=v ;F(x^2)=w;F(x^3)=q

to wtedy jeśli (v,w,q) jest bazą  R^3to faktycznie jest to izomorfizm

 

 

 

 

Czy moje rozumowanie jest Ok  ?    Czy chociaż dobrze rozumiem o co w zadaniu pytają?

 

PS Oczywiście rozwiążemy zadanie "w pełni", ale najpierw trzeba się skupić na samej istocie problemu,


Użytkownik xawery edytował ten post 31.01.2014 - 14:12

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 31.01.2014 - 23:46

Czy moje rozumowanie jest Ok  ?    Czy chociaż dobrze rozumiem o co w zadaniu pytają?

 

Chyba tak, chociaż w tym co piszesz jest trochę nieścisłości:

 

 

F(x+2^x+x^3)=[2,3,-7]

Oczywista pomyłka :)

 

W zadaniu jest pytanie czy istnieje jakaś podprzestrzeń przestrzeni R[x]_3 taka, że

funkcja ograniczona (w sensie dziedziny) do tej podprzestrzeni jest izomorfizmem w stosunki do V[/tex] (tej podprzestrzeni) i R[x]_3.

 

Czy funkcja jest izomorfizmem pomiędzy V\subset R[x]_3 a \mathbb{R}^3. Pewnie to miałeś na myśli tylko napisałeś inaczej.

 

No więc jak twierdzę, że weźmy jakąś bazę R[x]_3.

No np.   (1+x, x^2, x^3)

Jest to baza jakiejś podprzestrzeni - nie wiem jakiej, ale mnie to nie obchodzi zbytnio.

Drugie stwierdzenie jest OK. To jest baza podprzestrzeni. Ale jak piszesz "weźmy bazę R[x]_3" to musiałbyś oczywiście podać cztery wektory.

 

 

Gdyby teraz okazało się, że F(1+x)=v ;F(x^2)=w;F(x^3)=q

to wtedy jeśli (v,w,q) jest bazą  R^3to faktycznie jest to izomorfizm

Rozumujesz dobrze, tylko że taka metoda opiera się na zgadywaniu. Można zrobić trochę inaczej. Masz podane wartości na pewnej bazie przestrzeni R[x]_3. Możesz więc znaleźć obraz odwzorowania (lub po prostu jego wymiar). Jeśli obraz jest całą przestrzenią \mathbb{R}^3, to da się znaleźć podprzestrzeń V o którą pytają w zadaniu, jeśli nie jest całą przestrzenią to się nie da. Czyli do podania odpowiedzi wystarczy obliczyć rząd jednej macierzy (nie każą przecież podawać czym jest V). Jeżeli taka podprzestrzeń istnieje i chciałbyś ją jednak znaleźć, też byłoby to łatwe, wystarczyłoby stwierdzić które z podanych wartości przekształcenia tworzą zbiór liniowo niezależny.

 

PS Oczywiście rozwiążemy zadanie "w pełni", ale najpierw trzeba się skupić na samej istocie problemu,

A więc na razie nie podaję rozwiązania :)


  • 1

#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.02.2014 - 00:43

Gdyby teraz okazało się, że  F(1+x) = v; F(x^2) = w; F(x^3) = q

to wtedy jeśli (v,w,q) jest bazą  R3 to faktycznie jest to izomorfizm

Ok. Istotnie okazało się, że w ten sposób uzyskany układ (v,w,q) jest liniowo niezależny - konsekwentnie jest bazą R3. Czy to już jest wystarczające uzasadnienie tego faktu danego w zadaniu ?

 

 

No dobrze, ale stosując się do Twojej metody.

Weźmy bazę, R[x]3. Tj:    1, x^2, x^3, x^4

Weźmy jej obrazy w przekształceniu F - dobrze policzyłem.

 

F(1) = [1 ;  1/2;   -1/2]

F(x) = [0; 1/2; -3/2]

F(x^2) = [5/4; 3/4 ;-1]

F(x^3) = [-1/2; 1; -7/2]

 

No i teraz możemy mówić, że znamy obraz przekształcenia, a mianowicie:
 

im(F) =  span( [1 ;  1/2;   -1/2],   [0; 1/2; -3/2],  [5/4; 3/4 ;-1], [-1/2; 1; -7/2])

 

I teraz przypuśćmy dwa przypadki

1) spośród Spana mamy układ 3 lnz - wtedy rozpinamy całe R3 - jaki i dlaczego taki jest Twój wniosek ?

2) Spośród Spana mamy układ 2 (albo nawet 1) - wtedy rozpinamy jakąś podprzestrzeń R3 - jaki i dlaczego taki jest Twój wniosek ?


Użytkownik xawery edytował ten post 01.02.2014 - 11:00

  • 1

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.02.2014 - 00:23

Ok. Istotnie okazało się, że w ten sposób uzyskany układ (v,w,q) jest liniowo niezależny - konsekwentnie jest bazą R3. Czy to już jest wystarczające uzasadnienie tego faktu danego w zadaniu ?

Tak.

 

 

No dobrze, ale stosując się do Twojej metody.

Weźmy bazę, R[x]3. Tj:    1, x^2, x^3, x^4

Nie o to mi chodziło. Bazy tej przestrzeni mogą być oczywiście różne, m.in może to być: 1+x, 1-x, x+2x^2-x^3, x+x^2+x^3. A więc nie trzeba niczego liczyć oprócz wymiaru przestrzeni rozpiętej przez obrazy tych wektorów tj. (1,1,-2), (1,0,1), (3,1,0), (2,3,-7).

 

 

I teraz przypuśćmy dwa przypadki

1) spośród Spana mamy układ 3 lnz - wtedy rozpinamy całe R3 - jaki i dlaczego taki jest Twój wniosek ?

2) Spośród Spana mamy układ 2 (albo nawet 1) - wtedy rozpinamy jakąś podprzestrzeń R3 - jaki i dlaczego taki jest Twój wniosek ?

Jeżeli mamy układ trzech liniowo niezależnych wektorów, to wymiar całego obrazu jest równy co najmniej 3, nie może być oczywiście większy więc jest równy 3 a jedyną 3-wymiarową podprzestrzenią przestrzeni 3-wymiarowej jest cała przestrzeń.

 

Jeżeli dowolne trzy wektory tworzą układ liniowo zależny, to wymiar obrazu jest równy najwyżej 2. Jeśli np. dwa pierwsze wektory będą rozpinały przestrzeń 2-wymiarową, to pozostałe dwa będą musiały należeć do tej samej 2-wymiarowej podprzestrzeni, inaczej dostalibyśmy układ trzech niezależnych wektorów. A więc cały obraz jest co najwyżej dwuwymiarowy, więc tym bardziej po obcięciu do jakiejś podprzestrzeni F nie będzie mogło być izomorfizmem.


  • 1

#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.02.2014 - 14:52

Ok, wypada tutaj podsumować teraz to wszystko.

I chyba mi to przypadnie :D
 

 

Przypominam czego dotyczyło pytanie.

Otóż pytanie było czy dla konkretnego przekształcenia F istnieje taka podprzestrzeń R[x]_3 że F[/tex] ograniczona do niej jest izomorfizmem w stosunku do R^3

 

No i ja zaproponowałem. Weźmy więc dowolną podprzestrzeń R[x]_3. Tzn weźmy jej bazę, wziąłem więc pierwszą z brzegu, nie zastanawiając się nawet co rozpina - na pewno jakąś podprzestrzeń - układ jest lnz - różne stopnie wielomianów. Nie jest to całe R[x]_3 - są 3 wektory a nie 4. A mowa o bazie 1+x, x^2, x^3.

I teraz przekształciłem tą bazę i zobaczyłem, że powstają wektory , które są gotowe, żeby rozpiąć R^3 - a więc stanowią bazę R^3. I stąd wyciągam wniosek, że odpowiedź jest pozytywna - tak istnieje taka podprzestrzeń - jest to span(1+x,x^2,x^3)

 

 

No i kolej na Twoją propozycję. Ale wydaje mi się, że Twoja jest dualna do mojej. W każdym razie podobna. Proponujesz, żeby wziąć bazę - ale co ciekawe całego R[x]_3 - ja inaczej - biorę też bazę, ale od razu jakiejś podprzestrzeni - tak wiem, że przestrzeń jest w szczególności swoją podprzestrzenią - więc mogłem wziać tak jak Ty bazę podprzestrzeni - całej przestrzeni.

Następnie chcesz rozważyć (cokolwiek to znaczy) przestrzeń rozpiętą przez wektory, ale już PO PRZEKSZTAŁCENIU funkcją F.

 

Konkretnie chcesz analizować wymiar. I twierdzisz, że jeśli wymiar jest 3 to ok, bo właśnie pokazaliśmy to co trzeba. Czyli można wziąć więc całą podprzestrzeń - bądź znajdzie sie jakaś podprzestrzeń, która da radę rozpiąć R^3.

 

No i wszystko ok, ale. Ja wziąłem na "pałę" jakąś bazę podprzestrzeni i miałem farta. Ty zaś wziąłeś całą przestrzeń - a czy mogło się zdarzyć tak, że Twoje rozwiązanie nie znajdzie takiej podprzestrzeni, którą ja trafiłem ? Wydaje mi się, że nie - No bo Twoja baza musi w szczególności rozpinać moją podprzestrzeń również.

 

Proszę o ocenę tych wniosków.

 

 


  • 0

#6 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.02.2014 - 12:02

Ja wziąłem na "pałę" jakąś bazę podprzestrzeni i miałem farta.

 

No właśnie: mógłbyś nie trafić. Chociaż prawdopodobieństwo chybienia jest dosyć małe (byłoby równe 0, gdybyś wybierał bazę rzeczywiście losowo). 

Moje rozwiązanie daje pewność i w zasadzie jest prostsze. Np. bierzesz podane wartości funkcji, wpisujesz je w kolumnach macierzy i liczysz rząd. Jeśli wyjdzie maksymalny to podprzestrzeń istnieje, jeśli mniejszy niż 3 to nie istnieje.

 

a czy mogło się zdarzyć tak, że Twoje rozwiązanie nie znajdzie takiej podprzestrzeni, którą ja trafiłem ? Wydaje mi się, że nie - No bo Twoja baza musi w szczególności rozpinać moją podprzestrzeń również.

Błąd :) Takich podprzestrzeni (jeśli już istnieją) jest wiele. Nawet używając tylko mojej metody, badając liniową niezależność podanych wartości funkcji mógłbym znaleźć różne podprzestrzenie. Popatrz na prostszy przykład: mamy odwzorowanie f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dane wzorem f(x,y,z)=(x,y). Gdybyś miał podać podprzestrzeń taką, że po obcięciu do niej f jest izomorfizmem, pewnie podałbyś płaszczyznę z=0. Ale tak naprawdę możesz podać dowolną podprzestrzeń oprócz tych, w których zachodzi związek ax=y lub x=0. Możesz to sobie wyobrazić geometrycznie: musisz mieć taką płaszczyznę, która po zrzutowaniu na OXY nie będzie prostą. Czyli po prostu ma to być płaszczyzna która nie jest prostopadła do OXY. Prawie wszystkie płaszczyzny ten warunek spełniają.


  • 1

#7 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.02.2014 - 16:13

No zaciekawiłeś mnie swoim przykładem, nigdy tak o tym nie myślałem. Wtedy bym wziął jaką bazę podprzestrzeni R^3 i zobaczył na co przekształca ją f. Jeśli dostałbym bazę przestrzeni R^2 (całej) to mam uzasadnienie, że istnieje podprzestrzeń, że funkcja zawężona do niej jest izomorficzna. To moja metoda nadal, ale Twoja jest fajniejsza.

 

Mógłbyś mi trochę pomóc wyrobić intuicję co do izomorfizmów ?

No bo - funkcja jest izomorfizmem jeśli jest epi i mono. Tzn jest "na" i jest 1-1.

A tutaj znowu mówimy o tym trochę inaczej.

W obliczu takiej sytuacji, co znaczy, ze dwie przestrzenie są izomorficzne ? Dlaczego R[x]_3  i  R4są izomorficzne ?

 

 

 

PS I jeszcze jedno. A np, jaki weźmiemy przykład, żeby otrzymać, że funkcja nie ma podprzestrzeni, że do niej ograniczone F jest izomorfizmem.


Użytkownik xawery edytował ten post 03.02.2014 - 16:25

  • 0





Tematy podobne do: Przekształcenie liniowe     x