Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Czy funkcja jest ograniczona ?



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.01.2014 - 18:39

f:[0,\infty]\rightarrow\RR

f(x)=\{1;x=0\\\frac{sinx}{x};x>0

 

 

Czy funkcja jest ograniczona?

Czy funkcja osiąga swoją największą wartość?

 

Chodzi o to, żeby używac ciągłości.

Lemtau Weierstrassa, ale nie pochodnych.

Ale granice jak najbardziej można.


Użytkownik xawery edytował ten post 26.01.2014 - 12:42

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.01.2014 - 11:58

Jest ograniczona i osiąga swoją największą wartość.

 

Po pierwsze, dla x>1 mamy |f(x)|<1. Na przedziale [0,1] funkcja jest ciągła (jest ciągła w 0 bo \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1). Stąd na tym przedziale zbiór wartości też jest ograniczony i w dodatku przyjmuje swoje kresy. Największa wartość funkcji na tym przedziale musi być \geq 1 (tak naprawdę jest równa 1), więc jest to największa wartość na całej dziedzinie.


  • 0

#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.01.2014 - 12:51

No trochę nie rozumiem.

Dla x > 1 mamy |f(x)| < 1

Wnioskujesz, stąd, że optimum sinusa to 1, ale podzielony przez x już nie osiągnie swojego optimum ?

 

Na przedziale [0;1] funkcja jest ciągła (jest ciągła w 0 bo \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}}=1

 

No tego to trochę nie rozumiem.

Dlaczego sprwadzasz granicę w punkcie 1 ?

Przecież sinus nie jest zdefinowany w tym punkcie - nie zdefiniowany oczywiście w naszej funkcji - on nie ma nic wspólnego z punktem x = 0,

Wydaje mi się, że jest coś nie tak, a to dlatego, że chcemy sprawdzić, czy funkcja jest ciągła w zero.

Na to potrzeba, żeby granica tej funkcji przy x dążącym do zera była równa f(0).

Jak wiem, f(0) = 1

No to teraz kolej na granicę w tym punkcie.

A zróbmy inaczej. Policzmy obustronne granice.

Tzn najpierw prawostronna, tzn dla x ciuteeeeek większych niż 0,

Ale dla takich już sprawę w swoje ręce bierze sinus - fakt zbiega do 1. Jest ok.

 

Teraz musi nam wyjść lewostronna granica równa 1.

I tu jest spory problem.

Przecież jak niby mogę policzyć lewostronną granicę w punkcie 1 ?

Jest to bodaj niewykonalne.

No przecież nie wezmę z nikąd sinua tam - tak jak zrobiłeś to Ty. Sinus nie jest tam zdefiniowany. Nie istnieje granica więc lewostronna, a więc funkcja nie jest ciągła w punkcie 0.


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.01.2014 - 19:18

No trochę nie rozumiem.

Wnioskujesz, stąd, że optimum sinusa to 1, ale podzielony przez x już nie osiągnie swojego optimum ?

Dla x>1 mamy \left|\frac{\sin x}{x}\right|=\frac{|\sin x|}{|x|}\leq \frac{1}{x}<1.

 

Teraz musi nam wyjść lewostronna granica równa 1.

I tu jest spory problem.

Przecież jak niby mogę policzyć lewostronną granicę w punkcie 1 ?

Jest to bodaj niewykonalne.

No przecież nie wezmę z nikąd sinua tam - tak jak zrobiłeś to Ty. Sinus nie jest tam zdefiniowany. Nie istnieje granica więc lewostronna, a więc funkcja nie jest ciągła w punkcie 0.

 

Liczymy w 0 nie w 1, pewnie to literówka.

Dlaczego sinus miałby nie być zdefiniowany dla jakiejkolwiek liczby rzeczywistej?? Granica lewostronna jest taka sama jak prawostronna, bo zarówno licznik jak i mianownik zmieniają znak.

Nawet gdyby tak nie było, nie stanowiłoby to problemu, bo rozpatrujemy ciągłość na przedziale [0,1].


  • 0

#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.01.2014 - 22:00

To czy możesz wytłumaczyć w jaki sposób bada się ciągłość ? Właśnie w takim przypadkach jak ten.


  • 0





Tematy podobne do: Czy funkcja jest ograniczona ?     x