Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

FUNKCJA i jej własności



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 czar

czar

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 48 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.01.2014 - 08:42

f(x)=(x^3   - 4) /x^2

 

wyznaczyć:

-przedziały monotoniczności

-ekstremum lokalne

-wypukłość i wklęsłość

-punkt przegięcia

-równanie asymptot

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.01.2014 - 09:52

\bl f(x)=\frac{x^3-4}{x^2}

 

najsamwpierw ustalamy dziedzinę 

x^2\neq0\gr\ \Rightarrow\ \re D=\mathbb{R}\backslash\{0\}

 

więc od razu mamy asymptotę wertykalną (pionową) \ \ \re x=0 

 

teraz pierwsza pochodna

f'=\frac{(x^3-4)'\cdot x^2-(x^3-4)\cdot\(x^2\)'}{\(x^2\)^2}=\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3-4)\cdot2x}{x^4}=\frac{3x^4-2x^4+8x}{x^4}=\frac{x^4+8x}{x^4}\gr\ \Rightarrow\ \bl f'(x)=\frac{x^3+8}{x^3}

 

ekstrema

f'(x)=0\gr\ \Rightarrow\ x^3+8=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x=-2

 

f'(x)>0\gr\ \Rightarrow\ \re x<-2\ \ \vee\ \ x>0\gr\ \Rightarrow\ funkcja jest rosnąca

f'(x)<0\gr\ \Rightarrow\ \re -2<x<0\gr\ \Rightarrow\ funkcja jest malejąca

dla \re\ x=-2\ funkcja ma maksimum lokalne \re\ f_{max}=\ f(-2)=\frac{(-2)^3-4}{(-2)^2}=\frac{-8-4}{4}\ \re=-3

 
druga pochodna
f''=\(f'(x)\)'=\frac{(x^3+8)'\cdot x^3-(x^3+8)\cdot(x^3)'}{\(x^3\)^2}=\frac{3x^2\cdot x^3-(x^3+8)\cdot3x^2}{x^6}=\frac{3x^5-3x^5-24x^2}{x^6}\gr\ \Rightarrow\ \bl f''(x)=\frac{-24}{x^4}
 
f''(x)\ jest zawsze ujemna, więc funkcja jest wklęsła i brak przegięć
 
f(x)=\frac{x^3-4}{x^2}=x-\frac{4}{x^2}\gr\ \Rightarrow\ funkcja ma asymptotę ukośną \ \re y=x, gdyż \ \bl\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4}{x^2}=\ \frac{4}{(\pm\infty)^2}=\frac{4}{\infty}\ \bl=0
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..