Niech oznacza przekątną iloczynu X x X . wykazać, że:
jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią dyskretną.
Napisano 22.01.2014 - 23:54
Niech oznacza przekątną iloczynu X x X . wykazać, że:
jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią dyskretną.
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 26.01.2014 - 19:47
Załóżmy, że jest zbiorem otwartym. Niech . Topologia w jest wyznaczona przez bazę złożoną ze zbiorów , gdzie otwarte w . A więc musi istnieć zbiór otwarty z bazy taki, że . Stąd oraz . Przypuśćmy, że . Wtedy , więc . Zatem i jest zbiorem otwartym. Ponieważ było dowolne, to jest przestrzenią dyskretną.
W drugą stronę jest oczywiste: jeśli topologia na jest dyskretna, to tak samo topologia na jest dyskretna. A więc każdy zbiór (w tym ) jest zbiorem otwartym.
STUDIA
Elementy teorii zbiorów
przekatna iloczynu XxXNapisany przez ksd22, 21 Jan 2014 |
|