Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Przekątna iloczynu



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 ksd22

ksd22

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 109 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.01.2014 - 23:54

Niech \triangle oznacza przekątną iloczynu X x X . wykazać, że:

\triangle jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy X jest przestrzenią dyskretną.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.01.2014 - 19:47

Załóżmy, że \Delta jest zbiorem otwartym. Niech x\in X. Topologia w X\times X jest wyznaczona przez bazę złożoną ze zbiorów U_1\times U_2, gdzie U_1,U_2 otwarte w X. A więc musi istnieć zbiór otwarty U z bazy taki, że (x,x)\in U=U_1\times U_2\subset \Delta. Stąd x\in U_1 oraz x\in U_2. Przypuśćmy, że y\in U_1. Wtedy (y,x)\in U\subset\Delta, więc y=x. Zatem U_1=\{x\} i \{x\} jest zbiorem otwartym. Ponieważ x było dowolne, to X jest przestrzenią dyskretną.

 

W drugą stronę jest oczywiste: jeśli topologia na X jest dyskretna, to tak samo topologia na X\times X jest dyskretna. A więc każdy zbiór (w tym \Delta) jest zbiorem otwartym.


  • 1





Tematy podobne do: Przekątna iloczynu     x