Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Granica - bez de l'Hospitala



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.01.2014 - 19:07

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx)^{\sqrt{2}}-1}{x^2}


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.01.2014 - 21:07

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx)^{\sqrt{2}}-1}{x^2}  \backslash \cdot \frac{(cosx)^{\sqrt{2}}+1}{(cosx)^{\sqrt{2}}+1}

 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx)^{2}-1}{x^2\cdot ((cosx)^{\sqrt{2}}+1)}=\frac{-sin^2(x)}{x^2}\cdot \frac{1}{(cosx)^{\sqrt{2}}+1}=-\frac{1}{2}

 

choć jeszcze musze to sprawdzić bo chyba powinno być -\frac{1}{\sqrt{2}}


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.01.2014 - 21:30

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx)^{\sqrt{2}}-1}{x^2}  \backslash \cdot \frac{(cosx)^{\sqrt{2}}+1}{(cosx)^{\sqrt{2}}+1}

 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx)^{2}-1}{x^2\cdot ((cosx)^{\sqrt{2}}+1)}=\frac{-sin^2(x)}{x^2}\cdot \frac{1}{(cosx)^{\sqrt{2}}+1}

 

\frac{(\cos x)^{\sqrt2}-1}{x^2}\ \ /\cdot\frac{(\cos x)^{\sqrt2}+1}{(\cos x)^{\sqrt2}+1}\gr\ \Rightarrow\ \frac{\(\cos^2x\)^{\sqrt2}-1}{x^2\((\cos x)^{\sqrt2}+1\)}\ \re\neq\ \frac{-\sin^2x}{x^2}\cdot\frac{1}{(\cos x)^{\sqrt2}+1}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.01.2014 - 01:48

Ojoj  ale bląd, źle podnieść do kwadratu. Już poprawiam


\frac{(\cos x)^{\sqrt2}-1}{x^2}\ \ /\cdot\frac{(\cos x)^{\sqrt2}+1}{(\cos x)^{\sqrt2}+1}\ \Rightarrow\ \frac{\(\cos^2x\)^{\sqrt2}-1}{x^2\((\cos x)^{\sqrt2}+1\)}\ \neq\ \frac{-\sin^2x}{x^2}\cdot\frac{1}{(\cos x)^{\sqrt2}+1}

 

No właśnie coś mi tam nie pasowało a tu proszę, źle podniosłem do kwadratu.

------------------------------------

 

Wiem, miało być bez d'Hospitala ale chwilowo nie mam pomysłu, więc przedstawię "szpitalny" sposób.

 

\lim_{x\to 0} \frac{(cos(x))^{\sqrt{2}}-1}{x^2} daje nam symbol nieoznaczony \frac{0}{0} więc liczę pochodne licznika i mianownika zgodnie z regułą

 

\lim_{x\to 0} \frac{(cos(x))^{\sqrt{2}}-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{2}\cdot (cos(x))^{\sqrt{2}-1}\cdot (-sin(x))}{2x}=\lim_{x\to 0} \frac{(cos(x))^{\sqrt{2}-1}\cdot sin(x)}{-\sqrt{2}x}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{(cos(x))^{\sqrt{2}-1}\cdot sin(x)}{x}

 

Ponownie mamy do czynienia z symbolem nieoznacznym \frac{0}{0} więc druga wizyta w "szpitali".

 

-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{(cos(x))^{\sqrt{2}-1}\cdot sin(x)}{x}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{(cos(x))^{\sqrt{2}}\cdot sin(x)}{x \cdot cos(x)}=POCHODNE=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{((cos(x))^{-1+\sqrt{2}})\cdot ((cos(x))^2-\sqrt{2}\cdot (sin(x))^{2})}{cos(x)-x\cdot sin(x)}

 

Uwaga licznik: ((cos(x))^{\sqrt{2}}\cdot sin(x))'=-\sqrt{2}(cos(x))^{-1+\sqrt{2}}\cdot sin(x)\cdot sin(x)+(cos(x))^{\sqrt{2}}\cdot cos(x) i teraz było zastosowane wyciągniecie wspólnego czynnika przed nawias.

 

wracając do granicy:

 

-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{((cos(x))^{-1+\sqrt{2}})\cdot ((cos(x))^2-\sqrt{2}\cdot (sin(x))^{2})}{cos(x)-x\cdot sin(x)}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{((cos(x))^{\sqrt{2}})\cdot ((cos(x))^2-\sqrt{2}\cdot (sin(x))^{2})}{cos(x)(cos(x)-x\cdot sin(x))}

 

I teraz mamy licząc granice x\to 0:

 

-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1\cdot (1-0)}{1\cdot (1-0)}=-\frac{1}{\sqrt{2}}

 

\fbox{\re{\lim_{x\to 0} \frac{(cos(x))^{\sqrt{2}}-1}{x^2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}}}


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską