Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całki nieoznaczone trygonometryczne

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
15 odpowiedzi w tym temacie

#1 Hom38

Hom38

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 11.01.2014 - 22:29

Hej, mam problem z 2 całkami, kompletnie nie wiem jak zacząc ;/

 

 

\int x^2tg \frac{1}{x} dx

 

\int sin^2 \frac{1}{x} dx


Użytkownik Hom38 edytował ten post 11.01.2014 - 22:32

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2014 - 11:19

Obydwie wydają się byc nieelementarne

Drugą zacznij przez części całkując jedynkę a dostaniesz sinusa całkowego


  • 0

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2014 - 14:13

Tak z drugiej będzie sinus całkowy ale pierwsza to zagwozdka. Można tg zamienić na \frac{sin}{cos} , ale dalej też nic ładnego nie widać.

 

Pierwsza:

 

\int sin^2\(\frac{1}{x}\)dx

 

przez części:

f(x)=sin^2\(\frac{1}{x}\)      f'(x)=2\cdot \sin \( \frac{1}{x}\)\cdot \cos \(\frac{1}{x}\)\cdot \frac{-1}{x^2}=-\frac{sin(\frac{2}{x})}{x^2}

g'(x)=1                  g(x)=x

 

więc mamy;

 

\int sin^2\(\frac{1}{x}\)dx=x\cdot sin^2\(\frac{1}{x}\)+\int \frac{sin(\frac{2}{x})}{x}dx=x\cdot sin^2\(\frac{1}{x}\)-Si(\frac{2}{x})


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2014 - 22:27

Jarek aby wykazac że to rzeczywiście sinus całkowy można po scałkowaniu przez części podstawic za argument sinusa


  • 0

#5 Hom38

Hom38

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.01.2014 - 16:23

Dziękuje za pomoc , mam jeszcze pytanie odnośnie takiej całki :

 \int sin^2 \frac{x}{2} dx

 

przez części wyszło xsin^2 \frac{x}{2} * \int xcos^2 \frac{x}{2} * sin^2 \frac{x}{2} dx i nie wiem co dalej z całką


  • 0

#6 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.01.2014 - 18:40

Tutaj jeśli chcesz liczyc przez części to funkcje dobierasz inaczej

 

\int{\sin^{2}{\frac{x}{2}}\mbox{d}x}=\int{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}\mbox{d}x}<br>\\\int{\sin^{2}{\frac{x}{2}}\mbox{d}x}=-2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}+\int{\cos^{2}{\frac{x}{2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\sin^{2}{\frac{x}{2}}\mbox{d}x}=-2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}+\int{\left(1-\sin^{2}{\frac{x}{2}}\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>2\int{\sin^{2}{\frac{x}{2}}\mbox{d}x}=-2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}+x\\</p>\\<p>\int{\sin^{2}{\frac{x}{2}}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\left(x-2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}\right)+C<br>\\


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 13.01.2014 - 18:40

  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.01.2014 - 19:26

Jest różnica: \int sin^{2}(\frac{1}{x})dx         a          \int sin^{2}(\frac{x}{2})dx        

 

Dziękuje za pomoc , mam jeszcze pytanie odnośnie takiej całki :

 \int sin^2 \frac{x}{2} dx

 

przez części wyszło xsin^2 \frac{x}{2} * \int xcos^2 \frac{x}{2} * sin^2 \frac{x}{2} dx i nie wiem co dalej z całką

 

 

\int sin^2 \frac{x}{2} dx można zrobić tak:

 

podstawienie:

\frac{x}{2}=t           \frac{1}{2}dx=dt           więc     dx=2dt

 

więc będzie:

 

\int sin^2 \frac{x}{2}dx=2\int sin^2(t)dt

 

a teraz cos(2v)=1-2sin^2(v)   więc sin^2(v)=\frac{1}{2}\(1-cos(2v)\)

 

czyli:

 

2\int sin^2(t)dt=2\int \frac{1}{2}\(1-cos(2t)\) dt=\int dt-\int cos(2t)dt= t-\frac{1}{2} sin(2t) +C=\frac{x}{2}-\frac{1}{2} sin(x)+C

 

Sprawdz jeszcze obliczenia bo piszę z marszu ale chyba ok bo sin(x)=2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.01.2014 - 19:28

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.01.2014 - 18:22

E tam przez części jest wygodniej dla większych potęg wychodzi ładny wzór redukcyjny

(i z tożsamości trygonometrycznych trzeba pamiętac tylko jedynkę)


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 14.01.2014 - 18:24

  • 0

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.01.2014 - 01:13

Kto co lubi :)


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 Hom38

Hom38

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.01.2014 - 13:52

Czy w tej całce jedynym wyjściem jest uniwersalne podstawienie za sinx, cosx, dx ?

\int \frac{2 + sinx}{(1+cosx)sinx}


  • 0

#11 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.01.2014 - 15:19

Dziękuje za pomoc , mam jeszcze pytanie odnośnie takiej całki :  \int sin^2 \frac{x}{2} dx 

a więc .., podsumowując \bl1-cosx=  sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-(cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2})= \bl2sin^2\frac{x}{2},

wtedy \re \int sin^2 \frac{x}{2} dx= \frac{1}{2}\int 2sin^2 \frac{x}{2} dx= \int(1-cosx)dx= \re \frac{1}{2}(x-sinx)+C . ... :)


Czy w tej całce jedynym wyjściem jest uniwersalne podstawienie za sinx, cosx, dx ? \int \frac{2 + sinx}{(1+cosx)sinx}dx

..., może jednak nie , zobaczmy

\re \int \frac{2+sinx}{(1+cosx)sinx}dx= \int \frac{2}{(1+cosx)sinx}dx + \int\frac{sinx}{(1+cosx)sinx}dx= \int \frac{2(sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2})}{2cos^2\frac{x}{2}\cd 2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}}dx + \int\frac{dx}{2cos^2\frac{x}{2}}=

=\int \frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}}{2cos^3\frac{x}{2}sin{\frac{x}{2}}}dx + \frac{1}{2}\int\frac{dx}{cos^2\frac{x}{2}}= \frac{1}{2}\int \frac{sin{\frac{x}{2}}}{cos^3\frac{x}{2}}dx+\int \frac{dx}{sinx}+ tg{\frac{x}{2}}= \frac{1}{2}\int \frac{sin{\frac{x}{2}}}{cos^3\frac{x}{2}}dx+ln\|tg{\frac{x}{2}}|+ tg{\frac{x}{2}}=\ ...\ i może sam dokończ przez podstawienie ... :)


  • 1

#12 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.01.2014 - 21:48

Całkę postaci

\int{R\left(\sin{x},cos{x}\right)\mbox{d}x}

 

zawsze da sie przedstawic w postaci sumy całek do których można zastosowac podstawienia 

 

u=\sin{x}\\v=\cos{x}\\t=\tan{x}


  • 0

#13 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.01.2014 - 02:55

Całkę postaci

\int{R\left(\sin{x},cos{x}\right)\mbox{d}x}

 

zawsze da sie przedstawic w postaci sumy całek do których można zastosowac podstawienia 

 

u=\sin{x}\\v=\cos{x}\\t=\tan{x}

 

Toś mu wytłumaczył :)

 

Zasadniczo gdy masz \int R(sin(x),cos(x))dx gdzie R jest runkcją wymierną, czyli jesli masz całkę z funkcji wymiernej zawierającej sin(x), cos(x) to stosujemy podstawienie u= tg\(\frac{x}{2}\)  a wtedy:

 

sin(x)=\frac{2u}{u^2+1}

 

cos(x)=\frac{1-u^2}{u^2+1}

 

tg(x)=\frac{2u}{1-u^2}

 

ctg(x)=\frac{1-u^2}{2u}                 oraz

 

dx=\frac{2}{u^2+1}du

 

Ale to jest podstawienie czasochłone i czasem są prostrze "triki", niemniej jednak ono zadziała zawsze, warto go znać.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 17.01.2014 - 17:15

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#14 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.01.2014 - 14:58


Całkę postaci

\int{R\left(\sin{x},cos{x}\right)\mbox{d}x}

 

zawsze da sie przedstawic w postaci sumy całek do których można zastosowac podstawienia 

 

u=\sin{x}\\v=\cos{x}\\t=\tan{x}

 

Toś mu wytłumaczył

 

Nie wierzysz to zajrzyj do Fichtenholza

 

Dla tej całki mamy

 

\int{\frac{2+\sin{x}}{\sin{x}\left(1+\cos{x}\right)}\mbox{d}x}=-\int{\frac{\left(2+\sin{x}\right)\cos{x}}{\sin^{3}{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{2\left(-\sin{x}\right)}{\left(\cos{x}-1\right)\left(1-\cos^{2}{x}\right)}\mbox{d}x}+\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{2}{x}}\cdot\frac{\tan{x}-2}{\tan^{3}{x}}}


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 17.01.2014 - 15:25

  • 0

#15 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.01.2014 - 17:14

Nie wierzysz to zajrzyj do Fichtenholza

 

A czy ja napisałem, że Ci nie wierzę :) Widzę doskonale, że znasz się na rzeczy.

 

 

 

Ja tylko stwierdziłem, że Twoja popowiedz była bardzo enigmatyczna i skromna:

 

Całkę postaci

\int{R\left(\sin{x},cos{x}\right)\mbox{d}x}

 

zawsze da sie przedstawic w postaci sumy całek do których można zastosowac podstawienia 

 

u=\sin{x}\\v=\cos{x}\\t=\tan{x}

 

Nie napisałeś nic w jaki sposób ma powsawiać u,v,t. A sam chyba przyznasz, że może być z tym problem.

 

 

 

 

Dla tej całki mamy \int{\frac{2+\sin{x}}{\sin{x}\left(1+\cos{x}\right)}\mbox{d}x}=-\int{\frac{\left(2+\sin{x}\right)\cos{x}}{\sin^{3}{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{2\left(-\sin{x}\right)}{\left(\cos{x}-1\right)\left(1-\cos^{2}{x}\right)}\mbox{d}x}+\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos^{2}{x}}\cdot\frac{\tan{x}-2}{\tan^{3}{x}}}

 

Ani skąd takie przekształcenie

 

 

Pozdrawiam serdecznie


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 17.01.2014 - 17:15

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#16 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.01.2014 - 18:53

U Fichtenholza jest przykładowy sposób rozkładu całek \int{R\left(\sin{x},\cos{x}\right)\mbox{d}x}

na taką sumę

 

R\left(u,v\right)=\frac{R\left(u,v\right)-R\left(u,-v\right)}{2}+\frac{R\left(u,-v\right)-R\left(-u,-v\right)}{2}+\frac{R\left(-u,-v\right)+R\left(u,v\right)}{2}

 

Podstawienia takie jak t=\frac{a\cdot\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+b}{c\cdot\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+d} gdzie \det{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\neq 0

 

do których należą t=\tan{\left(\frac{x}{2}\right)} czy t=\sec{x}+\tan{x} powinny się spodobać fanom podstawień Eulera


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 17.01.2014 - 20:02

  • 0