Jak rozłożyć to za pomocą LU ?
Użytkownik xawery edytował ten post 02.01.2014 - 09:54
Napisano 02.01.2014 - 09:53
Jak rozłożyć to za pomocą LU ?
Użytkownik xawery edytował ten post 02.01.2014 - 09:54
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 03.01.2014 - 10:10
Zwykle tą metodę stosuje się do macierzy kwadratowych, ta nie jest kwadratowa więc przynajmniej jedna z macierzy też nie będzie kwadratowa. Nie będą to więc typowe macierze trójkątne. Można jednak znaleźć podobne rozkłady (metoda nie będzie jednoznaczna), np.:
Czy taki rozkład Ci odpowiada? Wtedy jeśli chcesz napiszę jak do niego doszedłem.
Napisano 03.01.2014 - 11:24
Faktycznie, mnożenie daje mi prawidłowy wynik!
BArdzo chętnie poznam metodę, ale wymagam tego, abym potem potrafił ją zastosować do innych przykładów
Napisano 04.01.2014 - 16:28
Najwyższa ocena
Metoda jest mniej więcej taka sama, jak dla macierzy kwadratowych, tylko czasem trzeba trochę bardziej uważać a czasem zgadywać
Przede wszystkim, macierz musi mieć wymiary a wymiary dla pewnego . Zakładając, że macierz po prawej jest macierzą schodkową, na pewno każdy jej wiersz o numerze większym od będzie zerowy. Stąd można założyć, że (dla nadmiarowe kolumny macierzy nie będą miały wpływu na wynik bo będą przemnożone przez zerowe wiersze macierzy ). Próbując znaleźć macierze L,U założyłem na początku, że , dopiero na końcu okazało się że można zmniejszyć do . Według mnie wynika to z tego, że macierz którą chcemy rozłożyć na iloczyn ma rząd (prawdopodobnie od razu można by było zakładać że jest równe rzędowi, chociaż nie próbowałem tego udowodnić więc głowy nie dam).
Wyjściowe założenie było więc takie:
Patrzymy jak powstaje pierwszy wiersz w macierzy po prawej. Widzimy, że gdyby element macierzy był równy , to pierwszy wiersz po prawej musiałby być zerowy, a skoro nie jest to i możemy przyjąć że . Wtedy pierwszy wiersz macierzy U musi być identyczny z pierwszym wierszem macierzy po prawej. Ustaliliśmy więc, że będzie:
Dalej patrzymy na pierwszą kolumnę macierzy po prawej. Z tego jak ona powstaje widzimy, że musi być równa pierwszej kolumnie macierzy . Czyli po uzupełnieniu dostajemy:
Dalej bierzemy drugi wiersz macierzy po prawej. Żeby otrzymać jego elementy trzeba przemnożyć elementy z drugiego wiersza macierzy i kolejnych kolumn macierzy . Daje nam to trzy równości: , , . Więc albo , albo drugi wiersz macierzy jest zerowy. Gdyby jednak drugi wiersz U był zerowy, to pierwsza i druga kolumna macierzy U byłyby identyczne, a wtedy pierwsza i druga kolumna macierzy po prawej też musiałyby być identyczne. Ponieważ te kolumny się różnią, to (przyjmiemy ) i musi zachodzić równość . Udało się więc ustalić, że nasz rozkład będzie miał postać:
Teraz patrzymy na drugą kolumnę macierzy po prawej i dowiemy się stąd jak wygląda druga kolumna macierzy . Widzimy, że tak naprawdę żeby dostać tę kolumnę macierzy po prawej, musimy dodać do siebie pierwszą i drugą kolumnę macierzy , więc druga kolumna jest różnicą odpowiednich kolumn. Mamy w ten sposób:
Teraz wypada popatrzeć na elementy trzeciego wiersza macierzy po prawej. Ponieważ dwa kroki wcześniej nie wyznaczyliśmy wszystkich elementów drugiego wiersza macierzy U, to teraz nie będziemy mieli jednoznacznego rozwiązania powstających równań tj.:
Możemy więc wybrać jakieś możliwe rozwiązanie i jeśli będziemy miel szczęście, to dostaniemy nasz rozkład, a jeśli otrzymamy sprzeczność to zawsze możemy wrócić do tego punktu i wybrać inne rozwiązanie. Przyjąłem, że , bo to daje możliwość wyznaczenia elementów drugiego wiersza macierzy . Jeśli mój wybór jest dobry, to rozkład będzie miał postać:
Teraz jak łatwo się domyślić zabieramy się za elementy z trzeciej kolumny macierzy po prawej. Patrząc na to jak one powstają, odczytujemy, że :
W tym momencie widać, że można zredukować wymiary macierzy. Dlaczego? Mamy dla pewnej stałej c. Patrząc na ostatnią kolumnę i na dwa ostatnie wiersze będziemy mieli równości:
To oznacza, że nie może być równe , załóżmy więc że wynosi . Wtedy powyższy układ redukuje się do:
Widać, że możliwym rozwiązaniem jest przyjęcie że piąty wiersz macierzy jest wierszem czwartym przemnożonym przez . Ale też, jeśli dla dowolnego takiego rozwiązania zastąpimy przez , to i ostatnia kolumna macierzy jest zerowa. Z tego powodu możemy usunąć zarówno tę kolumnę jak i ostatni wiersz macierzy . W wyniku otrzymamy dokładnie tę parę macierzy , które podałem w poprzednim poście.
Użytkownik hmm edytował ten post 04.01.2014 - 16:28
Napisano 04.01.2014 - 18:48
Do rozkładu A= LU macierzy dowolnych wymiarów i rozwiązywania układów równań przez ten rozkład stosuje się metody: Choleskie'go, Doittle'a. Crouta i Banachiewicza.
Zachęcam do podręczników Metod Numerycznych.
Napisano 04.01.2014 - 20:27
Potem to wszytko sprobuję przeczytać co napisałeś, a tak na marginiesie:
http://math.stackexc...n-square-matrix
Z tym idzie sobie jakoś dać radę to rozwiązać ? Tzn tą metdoą da radę mój przykład ?
Napisano 04.01.2014 - 22:35
Pewnie że się da, wynik będzie trochę inny choćby dlatego że ja starałem się przedstawić rozkład LU a nie PLU - z permutacją (a w tym przykładzie już na samym początku zerujesz drugi wiersz czyli będziesz potrzebował permutacji). Poza tym tam jest założenie, że macierz jest kwadratowa a ma takie wymiary jak wyjściowa macierz (dodatkowe wiersze i kolumny praktycznie nic nie wniosą ale może przyjmuje się z jakichś powodów takie założenie).
Rozkład otrzymany tą drugą metodą byłby taki:
czyli:
(na tamtej stronie jest błąd, nie każda macierz permutacji jest swoją odwrotnością, dotyczy to tylko macierzy transpozycji).
Ta metoda prawdopodobnie mniej nadaje się do obliczeń (na komputerze, bo ludzie często mają swoje indywidualne upodobania ). Ma ona jednak na pewno swoje zalety. Między innymi natychmiast widać to, o czym pisałem, że (jeśli się chce) można zredukować do rzędu macierzy.
Napisano 05.01.2014 - 13:32
A możesz mi wytłumaczyć tutaj tą "angielską" wersję ? Okrponie mi na tym zależy, bo nie ma tego w internecie.
Napisano 06.01.2014 - 15:25
Pierwszym krokiem jest sprowadzenie przy pomocy operacji elementarnej do macierzy schodkowej. To co dostaniemy, to będzie macierz . Bardzo ważne jest, żeby zapamiętać jakie operacje elementarne stosowaliśmy. Na naszym przykładzie:
operacja pierwsza:
operacja druga:
operacja trzecia:
operacja czwarta:
operacja piąta: zamieniamy z
operacja szósta:
operacja siódma:
operacja ósma: zamieniamy z
operacja dziewiąta:
Teraz musimy znaleźć macierz . Bierzemy macierz jednostkową i wykonujemy na niej odwrotność tego co zrobiliśmy przed chwilą z wyjściową macierzą. To znaczy wykonujemy operacje w odwrotnej kolejności i będą to operacje odwrotne do tych które wykonywaliśmy. Pierwsza operacja musi być więc operacją odwrotną do operacji dziewiątej. To znaczy, zamiast dodawać do piątego wiersza trzeci, trzeba go odjąć. Następną operacją będzie operacja odwrotna do ósmej czyli w tym przypadku dokładnie ta sama operacja (transpozycja jest odwrotna sama do siebie). Wypiszę po kolei jakie będziemy otrzymywać macierze:
Nie podoba nam się w tym rozkładzie to, że macierz L nie jest dolnotrójkątna. Aby to poprawić, wystarczy zamienić wiersze tak jak poprzednio tj. drugi z trzecim i trzeci z czwartym. Wtedy jednak w wyniku nie dostaniemy wyjściowej macierzy tylko macierz , gdzie jest macierzą pewnej permutacji. Jaką? dostaniemy z macierzy jednostkowej wykonując te same permutacje co przed chwilą na , tj. najpierw zamieniając wiersz drugi z trzecim a potem trzeci z czwartym.
Napisano 07.01.2014 - 00:35
Ok, dzięki wielkie!
Jedna jeszcze prośba. Podpowiedz jak zachowywac się przy macierzach niekwadratowych, tzn wiadomo, że trzeba zeschodkować macierz - żeby dostać macierz U. Ale konstruując macierz L jakich wymiarów powinniśmy wziąć macierz?
Napisano 09.01.2014 - 00:21
Ok, dzięki wielkie!
Jedna jeszcze prośba. Podpowiedz jak zachowywac się przy macierzach niekwadratowych, tzn wiadomo, że trzeba zeschodkować macierz - żeby dostać macierz U. Ale konstruując macierz L jakich wymiarów powinniśmy wziąć macierz?
Masz na myśli tę drugą metodę? Wtedy L jest macierzą kwadratową i ma tyle kolumn ile wierszy ma macierz U - żeby dało się je pomnożyć.
|
Równania i nierówności, procenty
Rozkład wielomianu na czynnikiNapisany przez lolek89, 16 Dec 2007 |
|
||
|
Statystyka matematyczna
X ma rozkład jednost., wykaz ze y=-lnx ma wykladniczyNapisany przez Ktosik2008, 17 Jan 2008 |
|
||
|
Statystyka matematyczna
Rozkład GęstościNapisany przez Andree99, 06 Mar 2008 |
|
||
|
Statystyka matematyczna
Rozkład PoissonaNapisany przez dixon, 06 Mar 2008 |
|
||
|
Funkcje
Tabelka przedstawia tygodniowy rozkład zajęć klasy trzeciejNapisany przez Motyl, 03 Apr 2008 |
|