Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Promień okręgu opisanego

LICEUM

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 crixx

crixx

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 31.12.2013 - 14:49

W trójkącie ABC mamy dane:  |AC| = 8, |BC| = 12 oraz |\angleACB| =120. Przez wierzchołek poprowadzono prostą prostopadłą do boku BC. Przecięła ona bok AB w punkcie D. Oblicz:

a)  długość odcinka CD

b) promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 irena_1

irena_1

    Operator całkujący

  • +Mods
  • 487 postów
296
Instruktor I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.01.2014 - 11:11

|AB|^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12cos120^0=64+144-192\cdot(-\frac{1}{2})=304\\|AB|=4\sqrt{19}

 

|\angle ABC|=\beta\\8^2=12^2+(\sqrt{304})^2-2\cdot12\cdot4\sqrt{19}cos\beta\\64=144+304-96\sqrt{19}cos\beta\\96\sqrt{19}cos\beta=384\\cos\beta=\frac{4\sqrt{19}}{19}

 

sin\beta=\sqrt{1-\frac{4\cdot19}{361}}=\sqrt{\frac{285}{361}}=\frac{\sqrt{285}}{19}

 

tg\beta=\frac{\sqrt{285}}{19}\cdot\frac{19}{4\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{15}}{4}

 

tg\beta=\frac{|CD|}{|BC|}\\\frac{|CD|}{12}=\frac{\sqrt{15}}{4}\\|CD|=\frac{3\sqrt{15}}{4}

 

Pole trójkąta ABC:

P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot12sin120^0=48\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}

 

24\sqrt{3}=\frac{8\cdot12\cdot4\sqrt{19}}{4R}\\8\cdot12\cdot4\sqrt{19}=4\cdot24\sqrt{3}R\\R=\frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{57}}{3}


  • 0

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.01.2014 - 14:25

Tak w gwoli ścisłości:

 

  • Długość boku |AB| była policzona dzięki tw. Kosinusów
  • Kosinus kąta \beta także dzięki tw. Kosinusów
  • Sinus kąta \beta z jedynki trygonometrycznej (wychodzą 2 wartości ale jedną odrzucamy ze względu na warunki i realia zadania)
  • Tangens beta=\frac{sin(\beta)}{cos(\beta)}
  • Długość boku |CD| z definicji funkcji tangens
  • Pole ze wzoru P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin(\alpha). Można użyć wzoru Harona
  • Promień okręgu opisanego ze wzoru P=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}. Można użyć wzoru sinusów R=\frac{a}{sin(\gamma)} gdzie \gamma to kąt naprzeciw boku a. Można użyć oczywiście dowolnego boku i kąta naprzeciw niego.

Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 29.01.2014 - 22:09

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2945 postów
403
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 29.01.2014 - 13:08

  • Pole ze wzoru P=a\cdot b\cdot sin(\alpha). Można użyć wzoru Harona

 

To P to jest wzór na pole trójkąta?

 

Jak wygląda wzór Harona? Nigdzie nie mogę znaleźć  :bigshock:


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.01.2014 - 22:15

Jak wygląda wzór Herona? Nigdzie nie mogę znaleźć

 

Hmmmmmm w ogóle szukałaś :) - Pierwsza odpowiedz wuja Googla:  http://pl.wikipedia....iki/Wzór_Herona

 

http://matematyka.pi...strona/503.html

---------------------------------------------------------------------------------------

 

 

 

To P to jest wzór na pole trójkąta?

 

Tak, choć gdzieś mi \frac{1}{2} się schowała, powinno być P=\frac{1}{2} a\cdot b \cdot sin(\alpha), a tak można uzyskać ten wzór:

 

trojkat.jpg

Wzór który pewnie znasz to P=\frac{1}{2} c\cdot h, ale co zrobić jeśli nie mamy h, ale wiemy ile wynoszą długości boków  c oraz a a także znamy miarę kąta y.

 

z funkcji trygonometrycznych wiemy, że sin(y)=\frac{h}{a} zatem h=sin(y)\cdot a, teraz gdy podstawimy do wzoru który znasz, dostaniesz:

 

P=\frac{1}{2} c\cdot h= \frac{1}{2} c\cdot sin(y)\cdot a= \frac{1}{2} c\cdot a\cdot sin(y)

 

Podobnie możemy obliczyć polę gdy mamy dowolne dwa boki trójkata i kąt miedzy nimi


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 29.01.2014 - 22:16

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2945 postów
403
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 03.02.2014 - 11:02

Ja znam wzór Herona na pole trójkąta. Myślałam, że piszesz o jakimś nieznanym mi wzorze Harona na pole czworokąta, gdyż w tej samej linijce wstawiłeś wzór na pole równoległoboku, który jest czworokątem.


  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.02.2014 - 22:23

Tak wiem, zauważyłem po fakcie, że była literówka.

 

Tak na marginesie dodam, że wzór podobny do Herona ale w odniesieniu do czworokąta wpisanego w okrąg nosi nazwę wzoru Brahmagupty.

 

pozdrawiam


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską