Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Równanie logarytmiczne

LICEUM

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 simp123

simp123

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 22 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.12.2013 - 18:21

Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b równanie loga* x^2 + log b = log(ab)^x ma co
 najmniej jedno rozwiązanie. Kiedy rówanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tygrysion

tygrysion

    Operator całkujący

  • +Mods
  • 553 postów
262
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.12.2013 - 14:07

Siemka :)

 

Jest to zwykłe równanie kwadratowe, wystarczy je tylko inaczej zapisać zgodnie z def. logarytmu, otóż:

 

log a \cdot x^2 + log b=log{(ab)}^x

 

x^2 \cdot loga - x \cdot log{ab} + logb=0

 

 

Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie gdy \Delta\geq0

 

A rozwiązanie jedno posiada gdy \Delta=0

Nie zapomnij o odpowiednich założeniach  przy dziedzinie logarytmów.

 


  • 0
Klikając Dołączona grafikamówisz DZIĘKUJĘ !
(\__/)
( -'.'-)
(")_(")

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 30.12.2013 - 12:18

 

Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b równanie loga* x^2 + log b = log(ab)^x ma co najmniej
jedno rozwiązanie. Kiedy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie ?

... no i zobaczmy jeszcze co się dzieje, gdy \re loga=0 , czyli gdy \re a=1otóż wtedy

log b = log(ab)^x \ \bl\Rightarrow\ log b = xlog(ab)  \ \bl\Rightarrow\ log b = x(loga+logb)  \ \bl\Rightarrow\ log b = x(0+logb) \ \bl\Rightarrow\

 \bl\Rightarrow\   log b xlogb=logb \ \bl\Rightarrow\  x=1\ i\ logb=1 \ \bl\Leftrightarrow\  x=1\ i\ b=10 , a więc do rozwiązania, które

ci wyjdzie w poście powyżej dołącz jeszcze to, dokładnie 1 pierwiastek istnieje ponadto, gdy \re a=1\ i\ b=10 . ... :)


  • 0

#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4728
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.09.2014 - 08:43

\bl x^2 \cdot loga - x \cdot log{ab} + logb=0\ \ \ \ \ \ \ a>0\ \ \ b>0

 

dla  a\neq1

\Delta=(-\log ab)^2-4\cdot\log a\cdot\log b=(\log a+\log b)^2-4\cdot\log a\cdot\log b=(\log a)^2+2\cdot\log a\cdot\log b+(\log b)^2-4\cdot\log a\cdot\log b=

=(\log a)^2-2\cdot\log a\cdot\log b+(\log b)^2=(\log a-\log b)^2=\(\log\frac ab\)^2

 

x_1=\frac{\log ab+\log\frac ab}{2\cdot\log a}=\frac{\log\(ab\cdot\frac ab\)}{2\cdot\log a}=\frac{\log a^2}{2\cdot\log a}=\frac{2\log a}{2\cdot\log a}=1

 

x_2=\frac{\log ab-\log\frac ab}{2\cdot\log a}=\frac{\log\frac{ab}{\frac ab}}{2\cdot\log a}=\frac{\log b^2}{2\cdot\log a}=\frac{2\log b}{2\cdot\log a}=\frac{\log b}{\log a}

 

czyli

dla  \re a\neq1\ \wedge\ a\neq b  są dwa różne pierwiastki  \re x_1=1\ \ \ x_2=\frac{\log b}{\log a}

 

dla  \re a\neq1\ \wedge\ a=b  jest jeden pierwiastek  \re x=1

 

dla  a=1

\log a=0   więc równanie przyjmuje postać  -x\cdot\log b+\log b=0\gr\ \Rightarrow\ (1-x)\log b=0

czyli

dla  \re a=1\ \wedge\ b\neq1  jest jeden pierwiastek  \re x=1

 

dla  \re a=1\ \wedge\ b=1  jest nieskończenie wiele  pierwiastków  \re x\in\mathbb{R}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..






Tematy podobne do: Równanie logarytmiczne     x