Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka oznaczona funkcji niewymiernej

całka oznaczona rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.12.2013 - 16:07

\int_{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}


Użytkownik denatlu edytował ten post 23.12.2013 - 16:09

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 rtuszyns

rtuszyns

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny

Napisano 23.12.2013 - 20:15

Mamy całkę postaci:

I=\int\limits_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)}.

Można ją zapisać równoważnie

\int\limits_a^b \frac{dx}{\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}.

Załóżmy dla ustalenia uwagi, że b>a.

Zastosujmy pierwsze podstawienie Eulera (współczynnik a trójmianu jest dodatni):

t-x=\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}

Podnosimy obustronnie do kwadratu i mamy

(t-x)^2=x^2-(a+b)x+ab.

Wyznaczamy z powyższego x i dostajemy:

x=\frac{ab-t^2}{a+b-2t}.

Teraz różniczkujemy powyżej wyznaczony x i mamy

dx=\frac{2t^2-2t(a+b)+2ab}{(a+b-2t)^2}dt.

Teraz wyznaczamy wartość \sqrt{x^2-(a+b)x+ab} podstawiając wyznaczony x do naszego podstawienia t-x=\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}.

Mamy więc

\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}=\frac{-t^2+(a+b)t-ab}{a+b-2t}.

Teraz wstawimy za dx oraz za \sqrt{x^2-(a+b)x+ab} wyznaczone  wartości w terminach zmiennej t do naszej całki i po prostych rachunkach otrzymujemy (granice całkowania nie zmieniają się, ponieważ \left. t\right|_a=\left. \sqrt{x^2-(a+b)x+ab}+x\right_a=a oraz \left. t\right|_b=\left. \sqrt{x^2-(a+b)x+ab}+x\right_b=b):

\int_a^b \frac{dt}{-2t+a+b}.

Teraz wykonujemy proste podstawienie u=-2t+a+b i całka nasza sprowadza się do znanej całki (granice całkowania wynoszą: górna - b-a, dolna - a-b):

\int\limits_{a-b}^{b-a}\frac{du}{u}.

Rozwiązaniem ostatniej całki jest:

I=\int\limits_{a-b}^{b-a}\frac{du}{u}=\left. \ln\left| u\right|\right|_{a-b}^{b-a}, co ostatecznie daje:

I=\ln\left|\frac{b-a}{a-b}\right|


Mamy całkę postaci:

I=\int\limits_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)}.

Można ją zapisać równoważnie

\int\limits_a^b \frac{dx}{\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}.

Załóżmy dla ustalenia uwagi, że b>a.

Zastosujmy pierwsze podstawienie Eulera (współczynnik a trójmianu jest dodatni):

t-x=\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}

Podnosimy obustronnie do kwadratu i mamy

(t-x)^2=x^2-(a+b)x+ab.

Wyznaczamy z powyższego x i dostajemy:

x=\frac{ab-t^2}{a+b-2t}.

Teraz różniczkujemy powyżej wyznaczony x i mamy

dx=\frac{2t^2-2t(a+b)+2ab}{(a+b-2t)^2}dt.

Teraz wyznaczamy wartość \sqrt{x^2-(a+b)x+ab} podstawiając wyznaczony x do naszego podstawienia t-x=\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}.

Mamy więc

\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}=\frac{-t^2+(a+b)t-ab}{a+b-2t}.

Teraz wstawimy za dx oraz za \sqrt{x^2-(a+b)x+ab} wyznaczone  wartości w terminach zmiennej t do naszej całki i po prostych rachunkach otrzymujemy (granice całkowania nie zmieniają się, ponieważ \left. t\right|_a=\left. \sqrt{x^2-(a+b)x+ab}+x\right|_a=a oraz \left. t\right|_b=\left. \sqrt{x^2-(a+b)x+ab}+x\right|_b=b):

\int_a^b \frac{dt}{-2t+a+b}.

Teraz wykonujemy proste podstawienie u=-2t+a+b i całka nasza sprowadza się do znanej całki (granice całkowania wynoszą: górna - b-a, dolna - a-b):

\int\limits_{a-b}^{b-a}\frac{du}{u}.

Rozwiązaniem ostatniej całki jest:

I=\int\limits_{a-b}^{b-a}\frac{du}{u}=\left. \ln\left| u\right|\right|_{a-b}^{b-a}, co ostatecznie daje:

I=\ln\left|\frac{b-a}{a-b}\right|

-----------------

Zmieniono całkę na I=\int\limits_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)} zatem trzeba użyć innego podstawienia Eulera...


Użytkownik rtuszyns edytował ten post 23.12.2013 - 20:17

  • 0

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.12.2013 - 20:39

\bl f=\int_a^b\frac{dx}{sqrt{(x-a)(b-x)}}

 

podstawienie \ \ t=\frac{b+a-2x}{b-a}\gr\ \Rightarrow\ x=\frac{a+b-(b-a)t}{2}\gr\ \Rightarrow\ dx=\frac{a-b}{2}dt

 

x-a=\frac{a+b-(b-a)t}{2}-a=\frac{b-a-(b-a)t}{2}=\frac{b-a}{2}(1-t)

 

b-x=b-\frac{a+b-(b-a)t}{2}=\frac{b-a+(b-a)t}{2}=\frac{b-a}{2}(1+t)

 

(x-a)(b-x)=\frac{b-a}{2}(1-t)\cdot\frac{b-a}{2}(1+t)=\(\frac{b-a}{2}\)^2(1-t)(1+t)=\(\frac{b-a}{2}\)^2(1-t^2)

 

\int\frac{dx}{sqrt{(x-a)(b-x)}}=\int\frac{\frac{a-b}{2}dt}{\sqrt{\(\frac{b-a}{2}\)^2(1-t^2)}}=\int\frac{\frac{a-b}{2}dt}{\frac{b-a}{2}\sqrt{(1-t^2)}}=\int\frac{-dt}{\sqrt{(1-t^2)}}=-\arcsin t+C=-\arcsin\frac{b+a-2x}{b-a}+C

 

f=-\|\arcsin\frac{b+a-2x}{b-a}\|_a^b=-\(\arcsin\frac{b+a-2b}{b-a}-\arcsin\frac{b+a-2a}{b-a}\)=-\(\arcsin(-1)-\arcsin1\)=-\(-\frac\p2-\frac\p2\)

 

\re\fbox{\ \int_a^b\frac{dx}{sqrt{(x-a)(b-x)}}=\p\ }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.01.2014 - 21:23

\int_{a}^{b}{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}}}\\</p>\\<p>\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}=\left(b-x\right)t\\</p>\\<p>\left(x-a\right)\left(b-x\right)=\left(b-x\right)^2t^2\\</p>\\<p>\left(x-a\right)=\left(b-x\right)t^2\\</p>\\<p>x-a=bt^2-xt^2\\</p>\\<p>x+xt^2=a+bt^2\\</p>\\<p>x\left(1+t^2\right)=a+bt^2\\</p>\\<p>x=\frac{a+bt^2}{1+t^2}=\frac{b+bt^2+\left(a-b\right)}{1+t^2}=b-\frac{b-a}{1+t^2}\\</p>\\<p>\left(b-x\right)t=\left(b-\left(b-\frac{b-a}{1+t^2}\right)\right)t\\</p>\\<p>\left(b-x\right)t=\frac{\left(b-a\right)t}{1+t^2}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=-\left(-1\right)\left(b-a\right)\left(1+t^2\right)^{-2}\cdot 2t\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2\left(b-a\right)t}{\left(t^2+1\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{1+t^2}{\left(b-a\right)t}\cdot\frac{2\left(b-a\right)t}{\left(t^2+1\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=2\int{\frac{\mbox{d}t}{1+t^2}}\\</p>\\<p>=2\arctan{\left(t\right)}+C\\</p>\\<p>t=\frac{\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}}{\left(b-x\right)}\\</p>\\<p>t=\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\\</p>\\<p>t\left(a\right)=0\\</p>\\<p>t\left(b\right)=\infty\\</p>\\<p>2\int_{0}^{\infty}{\frac{\mbox{d}t}{1+t^2}}=2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\pi</p>\\<p>


  • 0