Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zmienność funkcji

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 GLDNPVLM

GLDNPVLM

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.12.2013 - 13:59

Witam! Chciałbym Was prosić o pomoc w wykonaniu poniższych poleceń dotyczących podanej funkcji: f(x)=(ln3x)/x

  • wyznaczyć dziedzinę podanej funkcji,
  • obliczyć jej granice na krańcach dziedziny,
  • wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
  • zbadać monotoniczność i znaleźć lokalne ekstrema funkcji
  • zbadać wypukłość i znaleźć punkty przegięcia
  • wszystkie informacje wypisać w tabeli,
  • naszkicować wykres

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc :)


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.12.2013 - 21:38

\bl f(x)=\frac{\ln^3x}{x}

 

ze względu na funkcję logarytm musi być \ \ \ x>0\gr\ \Rightarrow\ \re \mathbb{D}=(0,\infty)

 

\lim_{x\to0_+}f(x)=\lim_{x\to0_+}\frac{\ln^3x}{x}=\frac{(-\infty)^3}{0_+}\gr\ \Rightarrow\ \bl\lim_{x\to0_+}f(x)=-\infty

to daje asymptotę wertykalną (pionową) \ \ \bl x=0
 

\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln^3x}{x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{3\ln^2x}{x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{3\cdot2\ln x}{x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{6}{x}\gr\ \Rightarrow\ \bl\lim_{x\to\infty}f(x)=0

to daje asymptotę horyzontalną (poziomą) \ \ \bl y=0
 
f'(x)=\frac{\(\ln^3x\)'\cdot x-\ln^3x\cdot(x)'}{x^2}=\frac{3\ln^2x\cdot\frac1x\cdot x-\ln^3x\cdot1}{x^2}=\frac{3\ln^2x-\ln^3x}{x^2}\gr\ \Rightarrow\ \bl f'(x)=\frac{\ln^2x(3-\ln x)}{x^2}
 
f'(x)=0\gr\ \Rightarrow\ \ln x=0\ \ \vee\ \ \ln x=3\gr\ \Rightarrow\ \bl x=1\ \ \vee\ \ x=e^3
 
f'(x)>0\gr\ \Rightarrow\ \ln^2x(3-\ln x)>0\gr\ \Rightarrow\ \re x\in(0,\,1)\cup(1,\,e^3)\gr\ \Rightarrow\ funkcja jest rosnąca
 
f'(x)<0\gr\ \Rightarrow\ \ln^2x(3-\ln x)<0\gr\ \Rightarrow\ \re x\in(e^3,\infty)\gr\ \Rightarrow\ funkcja jest malejąca
 
w \re x=e^3\ funkcja ma maksimum \ \ f(e^3)=\frac{\ln^3e^3}{e^3}=\frac{\(\ln e^3\)^3}{e^3}=\frac{3^3}{e^3}\gr\ \Rightarrow\ \re f_{max}=\frac{27}{e^3}
 
f''(x)=\(f'(x)\)'=\frac{\(3\ln^2x-\ln^3x\)'\cdot x^2-(3\ln^2x-\ln^3x)\cdot\(x^2\)'}{\(x^2\)^2}=\frac{\(3\cdot2\ln x\cdot\frac1x-3\ln^2x\cdot\frac1x\)\cdot x^2-(3\ln^2x-\ln^3x)\cdot2x}{x^4}
 
=\frac{\(6\ln x-3\ln^2x\)\cdot x-2(3\ln^2x-\ln^3x)\cdot x}{x^4}=\frac{6\ln x-3\ln^2x-2(3\ln^2x-\ln^3x)}{x^3}\gr\ \Rightarrow\ \bl f''(x)=\frac{\ln x\(2\ln^2x-9\ln x+6\)}{x^3}
 
f''(x)=0\gr\ \Rightarrow\ \ln x=0\ \ \vee\ \ 2\ln^2x-9\ln x+6=0\gr\ \Rightarrow\ \re x=1\ \ lub
 
2\ln^2x-9\ln x+6=0\ \ \ \Delta=9^2-4\cdot2\cdot6=33\gr\ \Rightarrow\ \{\ln x=\frac{9-sqrt{33}}{4}\\\ \ \ lub\\\ln x=\frac{9+sqrt{33}}{4}\gr\ \Rightarrow\ \re\ x_1=e^{\frac{9-sqrt{33}}{4}}\ \ \ \ x_2=e^{\frac{9+sqrt{33}}{4}}
 
f''(x)>0\gr\ \Rightarrow\ \re x\in(1,\,x_1)\cup(x_2,\infty)\ \ funkcja jest wypukła
 
f''(x)<0\gr\ \Rightarrow\ \re x\in(0,\,1)\cup(x_1,\,x_2)\ \ funkcja jest wklęsła
 
w \re\ \ x=1\ \ \vee\ \ x_1\ \ \vee\ \ x_2\ \ funkcja ma przegięcie
 
\begin{array}{|l|c.c.c.c.c.c|}\hline\\x&0&1&x_1&e^3&x_2&\infty\\\hline\\\hline\\f'(x)&+&+0+&+&+0-&-&-\\\hline\\f''(x)&-&-0+&+0-&-&-0+&+\\\hline\\f(x)&-\infty\nearrow&0&\nearrow&27e^{-3}&\searrow&\searrow0\\\hline\end{array}
 
 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

pre_1387744701__wykres_ln3x_x.jpg


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..






Tematy podobne do: Zmienność funkcji     x