Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Produkt półprosty, co to jest?

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 agusia6

agusia6

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 20.12.2013 - 21:02

Witam, w tym roku piszę prace licencjacką i mój temat to " Izometrie płaszczyzny". W pierwszym rozdziale mam opisać konstrukcję produktu półprostego i właśnie o ten produkt półprosty mam pytanie. Czy ktoś mógłby mi jakoś prosto wyjaśnić co to jest i jaki to ma w ogóle związek z izometrią? Oczywiście mam literaturę, ale tylko po angielsku i nie wszystko dokładnie rozumiem. Czytałam też coś na internecie po polsku, ale też nie wiele zrozumiałam. Mam nadzieję, że mogę liczyć na Waszą pomoc.

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.12.2013 - 11:14

Każdą izometrię można zapisać jako F(x)=Ax+b, gdzie A jest izometrią liniową (obrotem lub symetrią osiową), a b\in\mathbb{R}^2. W skrócie I=(A,b).

 

Wszystkie izometrie płaszczyzny tworzą grupę. Jak wygląda działanie w tej grupie? Weźmy F_1=(A,b) oraz F_2=(C,d). Wtedy:

I_1(I_2(x))=I_1(Cx+d)=A(Cx+d)+b=ACx+(Ad+b), czyli (A,b)(C,d)=(AC,Ad+b)

Stąd łatwo wymyślić jak wygląda element odwrotny:

(A,b)^{-1}=(A^{-1},-A^{-1}b)

 

Wśród nich można wyróżnić podgrupę T złożoną z translacji. Każda translacja odpowiada parze (I,b). Podgrupa T jest normalna:

(C,d)(I,b)(C,d)^{-1}=(C,Cb+d)(C^{-1},-{C^{-1}d)=(CC^{-1},-CC^{-1}d+Cb+d)=(I,Cb)

 

Wyróżniamy też podgrupę O izometrii liniowych czyli par (A,0). Ta podgrupa nie jest już normalna, ale T\cap O składa się tylko z identyczności. Dodatkowo każdy element można zapisać jako iloczyn translacji i izometrii liniowej: (A,b)=(I,b)(A,0).

 

Można powiedzieć, że konstrukcja iloczynu półprostego jest uogólnieniem tej sytuacji. Jest to jednocześnie uogólnienie iloczynu kartezjańskiego. Mogłaś napotkać dwie definicje:

  1. iloczyn wewnętrzny, czyli taka sytuacja: mamy grupę G, podgrupę normalną N\triangleleft G i jakąś podgrupę H przy czym N\cap H=\{e\}, i NH=G
  2. iloczyn zewnętrzny, czyli grupa skonstruowana z grup N, H i z działania H na N. Bierze się produkt H\times N, ale wprowadza się inne mnożenie elementów: (h_1,n_1)(h_2,n_2)=(h_1h_2,n_1(h_1\cdot n_2)). Wspomniane działanie oznacza, że każdemu elementowi grupy H przypisujemy jakiś automorfizm grupy N (dokładniej, określamy homomorfizm \varphi:H\to Aut(N)) i możemy w skrócie zapisać h\cdot n, co tak naprawdę oznacza \varphi(h)(n).

Myślę, że widać że obydwie te definicje są spełnione dla grupy izometrii płaszczyzny. Dodam jeszcze, że w przypadku drugiej definicji, Aut(T) to po prostu grupa macierzy odwracalnych a działanie o którym mowa, to zwykłe mnożenie macierzy i wektora. No i ponieważ translacje są przemienne, to stosujemy notację addytywną a nie multiplikatywną jak w definicji.


Użytkownik hmm edytował ten post 27.12.2013 - 11:15

  • 0