#1
Napisano 20.12.2013 - 21:02
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 27.12.2013 - 11:14
Każdą izometrię można zapisać jako , gdzie A jest izometrią liniową (obrotem lub symetrią osiową), a . W skrócie .
Wszystkie izometrie płaszczyzny tworzą grupę. Jak wygląda działanie w tej grupie? Weźmy oraz . Wtedy:
, czyli
Stąd łatwo wymyślić jak wygląda element odwrotny:
Wśród nich można wyróżnić podgrupę złożoną z translacji. Każda translacja odpowiada parze . Podgrupa jest normalna:
Wyróżniamy też podgrupę izometrii liniowych czyli par . Ta podgrupa nie jest już normalna, ale składa się tylko z identyczności. Dodatkowo każdy element można zapisać jako iloczyn translacji i izometrii liniowej: .
Można powiedzieć, że konstrukcja iloczynu półprostego jest uogólnieniem tej sytuacji. Jest to jednocześnie uogólnienie iloczynu kartezjańskiego. Mogłaś napotkać dwie definicje:
- iloczyn wewnętrzny, czyli taka sytuacja: mamy grupę , podgrupę normalną i jakąś podgrupę przy czym , i
- iloczyn zewnętrzny, czyli grupa skonstruowana z grup i z działania na . Bierze się produkt , ale wprowadza się inne mnożenie elementów: . Wspomniane działanie oznacza, że każdemu elementowi grupy przypisujemy jakiś automorfizm grupy (dokładniej, określamy homomorfizm ) i możemy w skrócie zapisać , co tak naprawdę oznacza .
Myślę, że widać że obydwie te definicje są spełnione dla grupy izometrii płaszczyzny. Dodam jeszcze, że w przypadku drugiej definicji, to po prostu grupa macierzy odwracalnych a działanie o którym mowa, to zwykłe mnożenie macierzy i wektora. No i ponieważ translacje są przemienne, to stosujemy notację addytywną a nie multiplikatywną jak w definicji.
Użytkownik hmm edytował ten post 27.12.2013 - 11:15