Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zmienność funkcji

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Hugo

Hugo

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 11 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.12.2013 - 20:45

Funkcja : f(x)=xe-2x
 

  • wyznaczyć dziedzinę podanej funkcji,
  • obliczyć jej granice na krańcach dziedziny,
  • wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
  • zbadać monotoniczność i znaleźć lokalne ekstrema funkcji
  • zbadać wypukłość i znaleźć punkty przegięcia
  • wszystkie informacje zebrać w tabeli,
  • naszkicować wykres

    Potrafi ktoś to zrobić?

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.12.2013 - 21:49

f(x)=x\cdot e^{-2x}=\frac{x}{e^{2x}}

 

Dziedzina  - całe R

 

\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty

 

\lim_{x\to \infty} f(x)=0

 

Asymptota pozioma y=0

 

f'(x)=e^{-2x}\cdot(1-2x)

 

ekstremum max dla x=\frac{1}{2} wynosi \frac{1}{2e}

 

f''(x)=e^{-2x}(4-4x)

 

punkty przegięcia x=1 

 

 

pre_1387486286__edo.jpg

Czerwona - funkcja wyjściowa

Niebieska - pierwsza pochodna

zielona - druga pochodna

A -ekstremum

B - przegięcie


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 19.12.2013 - 21:52

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.12.2013 - 21:56

\bl f(x)=xe^{-2x}

 

dziedzina \ \ \ \re x\in\mathbb{R}

 

\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{2x}}=\frac{\infty}{\infty}\ \longrightarrow\ =\frac{(x)'}{\(e^{2x}\)'}=\frac{1}{2e^{2x}}\ \longrightarrow\ \frac{1}{\infty}\gr\ \Rightarrow\ \bl \lim_{x\to\infty}f(x)=0

 

czyli jest asymptota pozioma \re\ \ \ y=0

 

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}xe^{-2x}=-\infty\cdot e^\infty\gr\ \Rightarrow\ \bl \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty

 

f'(x)=(x)'\cdot e^{-2x}+x\cdot\(e^{-2x}\)'=1\cdot e^{-2x}+x\cdot\(-2e^{-2x}\)=e^{-2x}-2x\cdot e^{-2x}\gr\ \Rightarrow\ \bl f'(x)=e^{-2x}\(1-2x\)

 

e^{-2x}\ \ jest zawsze dodatnie, czyli >0, więc o znaku pochodnej decyduje czynnik \ (1-2x)

 

f'(x)=0\gr\ \Rightarrow\ 1-2x=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x=\frac12

 

dla \re x<\frac12\ pochodna jest dodatnia - funkcja jest rosnąca

dla \re x>\frac12\ pochodna jest ujemna - funkcja jest malejąca

dla \re x=\frac12\ funkcja ma lokalne maksimum \ \re f_{max}=\frac{1}{2e}
 
f''(x)=\(f'(x)\)'=\(e^{-2x}\)'\cdot\(1-2x\)+e^{-2x}\cdot\(1-2x\)'=-2e^{-2x}(1-2x)+e^{-2x}\cdot(-2)=
 
=e^{-2x}\[-2(1-2x)-2\]=e^{-2x}\(-2+4x-2\)=e^{-2x}\(4x-4\)\gr\ \Rightarrow\ \bl f''(x)=4e^{-2x}(x-1)
 
f''(x)=0\gr\ \Rightarrow\ x-1=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x=1
 

dla \re x<1\ druga pochodna jest ujemna - funkcja jest wklęsła

dla \re x>1\ druga pochodna jest dodatnia - funkcja jest wypukła

dla \re x=1\ funkcja ma przegięcie
 
\re f(0)=0
 
\begin{array}{|l|c.c.c.c.c|}\hline\\x&-\infty&0&\frac12&1&\infty\\\hline\\\hline\\f'(x)&+&+&0&-&-\\\hline\\f''(x)&-&-&-&0&+\\\hline\\f(x)&-\infty\nearrow&\nearrow0\nearrow&\nearrow\frac{1}{2e}\searrow&\searrow&\searrow0\\\hline\end{array}
 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 Hugo

Hugo

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 11 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.12.2013 - 23:17

Jestescie moimi matematycznymi mistrzami propsy dla Was ;)


  • 0





Tematy podobne do: Zmienność funkcji     x