Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Całka - Całka z pierwiastka - ciekawe podstawienie (4)

Całka Całka przez podstawienie rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.12.2013 - 04:21

*
Najwyższa ocena

\int \sqrt{a^2-x^2}dx

 

Podstawienie x=a\cdot sin(t) więc dx= a\cdot cos(t)dt oraz  t= arc sin(\frac{x}{a})

 

Mamy więc:

 

\int \sqrt{a^2-a^2 sin^2(t)} \cdot a\cdot cos(t)dt=\int \sqrt{a^2(1-sin^2(t))} \cdot a\cdot cos(t)dt=\int (a\cdot cos(t)\cdot a\cdot cos(t))dt= a^2\int cos^2(t) dt

 

Teraz tylko obliczymy \int cos^2(t)dt

 

\fbox {\re{\cos(2t)=2\cos^2(t)-1}}       więc        \fbox{\re{cos^2(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot cos(2t)}}

 

Mamy zatem:

 

\int cos^2(t)dt=\int \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot cos(2t)\)dt= \int \frac{1}{2} dt+ \frac{1}{2}\int cos(2t)dt

 

w stosunku do drugiej całki zrobimy podstawienie 2t=u więc dt=\frac{1}{2}du

 

otrzymamy:

 

\int \frac{1}{2} dt+ \frac{1}{4}\int cos(u)du=\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{4}sin(u)+ C_1=\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{4}sin(2t)+C

 

reasumując:

 

a^2\int cos^2(t) dt= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{4}sin(2t)\)+D

 

Przypomnijmy, że  \fbox {\re{\sin(2t)=2sin(t)cos(t)}    więc mamy

 

a^2\int cos^2(t) dt= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)cos(t)\)+D

 

Uwaga teraz coś "extra" cos(t) zapiszemy jako: cos(t)=\sqrt{1-sin^2(t)}

 

Mamy więc:

 

a^2\int cos^2(t) dt= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)cos(t)\)+D=a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)\cdot \sqrt{1-sin^2(t)}\)+D

 

Teraz skorzystamy z wcześniej wyprowadzonego wzoru  t= arc sin(\frac{x}{a})

 

Dostaniemy:

 

a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)\cdot \sqrt{1-sin^2(t)}\)+D= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot arc sin(\frac{x}{a})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{a})\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\)+D            bo        sin(arcsin(x))=x

 

Teraz tylko zabiegi kosmetyczne:

 

a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot arc sin(\frac{x}{a})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{a})\cdot \sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}\)+D=a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot arc sin(\frac{x}{a})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{a^2})\cdot \sqrt{a^2-x^2}\)+D= \frac{a^2}{2}arcsin\(\frac{x}{2}\)+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a^2-x^2}+D

 

\re{\fbox{\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin\(\frac{x}{2}\)+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a^2-x^2}+D}}

 

 

Można także nieco prościej

\int \sqrt{a^2-x^2}dx= \int\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}-\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx

 

W stosunku do drugiej całki zrobimy przekształcenie i przez częśći

 

\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\int x\cdot \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx

 

Przez części:

f(x)=x    więc    f'(x)=1

g'(x)=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}      więc     g(x)=-\sqrt{a^2-x^2}

 

co nam daje:

 

\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}+ x\cdot \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx

 

Czyli

 

2\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}+ x\cdot \sqrt{a^2-x^2}

 

więc

 

\re{\fbox{\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin\(\frac{x}{2}\)+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a^2-x^2}+D}}

 

bo \int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= \int\frac{a^2}{a\cdot \sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}=\mbox{(podstawienie \frac{x}{a}=u itd.)}=a^2\cdot arcsin(\frac{x}{a})+C


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55