Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka funkcji niewymiernej

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 denatlu

denatlu

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 99 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.12.2013 - 21:09

\int \sqrt{a^2-x^2}dx
\int \sqrt{b^2+x^2}dx
 

 

Mógłby ktoś coś poopowiadać o tych całkach?


Użytkownik denatlu edytował ten post 17.12.2013 - 21:10

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3978 postów
4725
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 17.12.2013 - 22:35

Niewiele bo już późno, ale

 

\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac12\(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}\)+C

 

\int \sqrt{b^2+x^2}dx=\frac12\[x\sqrt{b^2+x^2}+b^2\ln\(sqrt{b^2+x^2}+x\)\]+C

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.12.2013 - 02:17

*
Najwyższa ocena

Wyprowadzenie 2 całki (tu jest a zamiast b i nie a^2 tylko a, ale to niczego nie zmienia bo to przecież liczba)

 

\int \sqrt{a+x^2}dx

 

\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\int \frac{a+x^2}{\sqrt{a+x^2}}dx=\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}+ \int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}}

 

 

Pierwsza z całek:

 

\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Podstawienie:

x+\sqrt{x^2+a}=t

 

\sqrt{x^2+a}=t-x                do kwadratu

 

x^2+a = t^2-2xt+x^2              czyli:

 

x=\frac{t^2-a}{2t}=\frac{1}{2}\(t-\frac{a}{t}\)

 

dx=\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt

 

\sqrt{x^2+a}=t-x      więc    \sqrt{x^2+a}=t-\frac{t^2-a}{2t}=\frac{t^2+a}{2t}          zatem Pierwsza całka wyniesie:

 

a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a \int \frac{\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt}{\frac{t^2+a}{2t}}=\frac{1}{2}\cdot a \int \frac{t^2+a}{t^2} \cdot \frac{2t}{t^2+a}dt=\frac{a}{2}\int \frac{2t}{t^2}dt=a\int \frac{dt}{t}=a\ln|t|+C=a\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C

 

\re\fbox{a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C}

 

Druga z całek:

 

\int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Przez części:

 

f(x)=x          g'(x)=\frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

f'(x)=1          g(x)=\sqrt{a+x^2}       ponieważ:       \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=2\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{2\sqrt{a+x^2}}=\sqrt{a+x^2}+C       \bl\fbox{\int \frac{h'(x)dx}{2\sqrt{h(x)}}=\sqrt{h(x)}+C

 

\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx

 

Czyli:

 

\int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx                     więc:

 

2\cdot \int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}

 

\re\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a+x^2} + C}

 


  • 5

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 KaJaK

KaJaK

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 27 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.12.2013 - 02:18

Wow :)


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.12.2013 - 04:18

*
Najwyższa ocena

\int \sqrt{a^2-x^2}dx

 

Podstawienie x=a\cdot sin(t) więc dx= a\cdot cos(t)dt oraz  t= arc sin(\frac{x}{a})

 

Mamy więc:

 

\int \sqrt{a^2-a^2 sin^2(t)} \cdot a\cdot cos(t)dt=\int \sqrt{a^2(1-sin^2(t))} \cdot a\cdot cos(t)dt=\int (a\cdot cos(t)\cdot a\cdot cos(t))dt= a^2\int cos^2(t) dt

 

Teraz tylko obliczymy \int cos^2(t)dt

 

\fbox {\re{\cos(2t)=2\cos^2(t)-1}}       więc        \fbox{\re{cos^2(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot cos(2t)}}

 

Mamy zatem:

 

\int cos^2(t)dt=\int \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot cos(2t)\)dt= \int \frac{1}{2} dt+ \frac{1}{2}\int cos(2t)dt

 

w stosunku do drugiej całki zrobimy podstawienie 2t=u więc dt=\frac{1}{2}du

 

otrzymamy:

 

\int \frac{1}{2} dt+ \frac{1}{4}\int cos(u)du=\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{4}sin(u)+ C_1=\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{4}sin(2t)+C

 

reasumując:

 

a^2\int cos^2(t) dt= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{4}sin(2t)\)+D

 

Przypomnijmy, że  \fbox {\re{\sin(2t)=2sin(t)cos(t)}    więc mamy

 

a^2\int cos^2(t) dt= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)cos(t)\)+D

 

Uwaga teraz coś "extra" cos(t) zapiszemy jako: cos(t)=\sqrt{1-sin^2(t)}

 

Mamy więc:

 

a^2\int cos^2(t) dt= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)cos(t)\)+D=a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)\cdot \sqrt{1-sin^2(t)}\)+D

 

Teraz skorzystamy z wcześniej wyprowadzonego wzoru  t= arc sin(\frac{x}{a})

 

Dostaniemy:

 

a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot t+ \frac{1}{2}sin(t)\cdot \sqrt{1-sin^2(t)}\)+D= a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot arc sin(\frac{x}{a})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{a})\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\)+D            bo        sin(arcsin(x))=x

 

Teraz tylko zabiegi kosmetyczne:

 

a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot arc sin(\frac{x}{a})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{a})\cdot \sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}\)+D=a^2\cdot \(\frac{1}{2}\cdot arc sin(\frac{x}{a})+\frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{a^2})\cdot \sqrt{a^2-x^2}\)+D= \frac{a^2}{2}arcsin\(\frac{x}{2}\)+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a^2-x^2}+D

 

\re{\fbox{\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin\(\frac{x}{2}\)+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a^2-x^2}+D}}

 

 

Można także nieco prościej

\int \sqrt{a^2-x^2}dx= \int\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}-\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx

 

W stosunku do drugiej całki zrobimy przekształcenie i przez częśći

 

\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\int x\cdot \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx

 

Przez części:

f(x)=x    więc    f'(x)=1

g'(x)=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}      więc     g(x)=-\sqrt{a^2-x^2}

 

co nam daje:

 

\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}+ x\cdot \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx

 

Czyli

 

2\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}+ x\cdot \sqrt{a^2-x^2}

 

więc

 

\re{\fbox{\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin\(\frac{x}{2}\)+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a^2-x^2}+D}}

 

bo \int\frac{a^2dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= \int\frac{a^2}{a\cdot \sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}=\mbox{(podstawienie \frac{x}{a}=u itd.)}=a^2\cdot arcsin(\frac{x}{a})+C

 

Jest jeszcze 3 opcja jak rozwiązać tą całkę ale może tyle wystarczy. Zachęcam do przeczytania http://matma4u.pl/fo...abc-matematyka/


  • 4

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.12.2013 - 16:19

*
Najwyższa ocena

\int{\sqr{a^2-x^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>a^2-x^2=\left(a-x\right)\left(a+x\right)\\</p>\\<p>\sqrt{a^2-x^2}=\left(a+x\right)t\\</p>\\<p>a^2-x^2=\left(a+x\right)^2t^2\\</p>\\<p>\left(a-x\right)=\left(a+x\right)t^2\\</p>\\<p>a-x=at^2+xt^2\\</p>\\<p>a-at^2=x+xt^2\\</p>\\<p>a\left(1-t^2\right)=x\left(1+t^2\right)\\</p>\\<p>x=\frac{a\left(1-t^2\right)}{1+t^2}=\frac{-a-at^2+2a}{1+t^2}=-a+\frac{2a}{1+t^2}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=2a\left(-1\right)\left(1+t^2\right)^{-2}\cdot 2t\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{-4at}{\left(1+t^2\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{a^2-x^2}=\left(a+x\right)t=\frac{2at}{1+t^2}\\</p>\\<p>-\int{\frac{2at}{1+t^2}\cdot\frac{4at}{\left(1+t^2\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-\int{\frac{8a^2t^2}{\left(1+t^2\right)^3}\mbox{d}t}=a^2\left(\int{2t\cdot\frac{\left(-4t\right)}{\left(1+t^2\right)^3}\right)\\</p>\\<p>=a^2\left(\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}-\int{\frac{2}{\left(1+t^2\right)^2}\mbox{d}t}\right)\\</p>\\<p>=a^2\left(\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}-\left(\int{\frac{2+2t^2-2t^2}{\left(1+t^2\right)^2}\right)\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>=a^2\left(\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}-\left(\int{\frac{2}{1+t^2}\mbox{d}t}+\int{\frac{t\cdot\left(-2t\right)}{\left(1+t^2\right)^2}}\right)\right)\\</p>\\<p>=a^2\left(\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}-\left(\int{\frac{2}{1+t^2}\mbox{d}t}+\frac{t}{1+t^2}-\int{\frac{\mbox{d}t}{1+t^2}}\right)\right)\\</p>\\<p>=a^2\left(\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}-\left(\int{\frac{1}{1+t^2}\mbox{d}t}+\frac{t}{1+t^2}\right)\right)\\</p>\\<p>=a^2\left(\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}-\frac{t}{1+t^2}-\int{\frac{1}{1+t^2}\mbox{d}t}\right)\\</p>\\<p>=a^2\left(\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}-\frac{t}{1+t^2}-\arctan{t}\right)+C\\</p>\\<p>\left(a^2-x^2\right)=\frac{4a^2t^2}{\left(1+t^2\right)^2}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\left(a^2-x^2\right)\cdot\frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{2a^2t}{\left(1+t^2\right)^2}\\</p>\\<p>\sqrt{a^2-x^2}=\frac{2at}{1+t^2}\\</p>\\<p>\frac{a}{2}\cdot\sqrt{a^2-x^2}=\frac{a^2t}{t^2+1}\\</p>\\<p>\int{\sqr{a^2-x^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a^2-x^2\right)\left(a+x\right)}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a}{2}\sqrt{a^2-x^2}-a^2\arctan{\left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a+x}\right)}+C\\</p>\\<p>\int{\sqr{a^2-x^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+x\right)\sqrt{a^2-x^2}-\frac{a}{2}\sqrt{a^2-x^2}-a^2\arctan{\left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a+x}\right)}+C\\</p>\\<p>\int{\sqr{a^2-x^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\cdot x\sqrt{a^2-x^2}-a^2\arctan{\left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a+x}\right)}+C\\</p>\\<p>

 

<br>\\\int{\sqrt{b^2+x^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{b^2+x^2}=t-x\\</p>\\<p>b^2+x^2=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>b^2=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx+t^2-b^2\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-b^2}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{b^2+x^2}=t-x=t-\frac{t^2-b^2}{2t}=\frac{2t^2-t^2+b^2}{2t}=\frac{t^2+b^2}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-b^2\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+b^2}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{t^2+b^2}{2t}\cdot\frac{t^2+b^2}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\int{\frac{\left(t^2+b^2\right)^2}{t^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\int{\left(\frac{t^4+2b^2t^2+b^4}{t^3}\right)\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(\int{t\mbox{d}t}+2b^2\int{\frac{\mbox{d}t}{t}}+b^4\int{\frac{\mbox{d}t}{t^3}}\right)\\</p>\\<p>=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}t^2-\frac{b^4}{2}\cdot\frac{1}{t^2}+2b^2\ln{\left|t\right|}\right)+C\\</p>\\<p>=\frac{1}{8}\left(\frac{t^4-b^4}{t^2}+4b^2\ln{\left|t\right|}\right)+C\\</p>\\<p>=\frac{1}{2}\left(\frac{\left(t^2+b^2\right)}{2t}\cdot\frac{\left(t^2-b^2\right)}{2t}+b^2\ln{\left|t\right|}\right)+C\\</p>\\<p>\int{\sqrt{b^2+x^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{b^2+x^2}+b^2\ln{\left|x+\sqrt{b^2+x^2}\right|}\right)+C\\<br>\\

 

Powyższe podstawienia pozwolą tobie sprowadzic każdą całkę postaci \int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x}

do całki z funkcji wymiernej

 

 

Możesz wypróbowac też podstawienie \sqrt{a\left(x-\alpha\right)^2+b\left(x-\alpha\right)+c}=\left(x-\alpha\right)t-\sqrt{c}

 

Przy czym \alpha dobierasz tak aby c>0


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 20.12.2013 - 17:13

  • 3