Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zmienność funkcji

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 kasia6002

kasia6002

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 12 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.12.2013 - 21:30

Temat mojego zadania to: Zbadaj przebieg zmienności funkcji.

  • Funkcja: f(x)=(xex)/(x2+2)

Czy ktoś potrafiłby to zrobić albo dać chociaż jakieś wskazówki itp.? Z góry dzięki :)


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.12.2013 - 23:06

\bl f(x)=\frac{xe^x}{x^2+2}

 

najsamwpierw zauważmy, że funkcja jest określona dla \re x\in\mathbb{R}

 

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x+\frac2x}=\frac{0}{-\infty}=0

 

\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x+\frac2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x+0}=\infty

 

teraz policzmy pochodną

f'=\frac{\(xe^x\)'\cdot(x^2+2)-xe^x\(x^2+2)'}{(x^2+2)^2}=\frac{(1\cdot e^x+x\cdot e^x)(x^2+2)-xe^x\cdot2x}{(x^2+2)^2}\gr\ \Rightarrow\ \bl f'(x)=\frac{e^x\(x^3-x^2+2x+2)}{(x^2+2)^2}

 

f'(x)=0\gr\ \Rightarrow\ x^3-x^2+2x+2=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x=-0,65063

 

f'(x)>0\gr\ \Rightarrow\ \re x>-0,65063\ \ \ \ -\ funkcja jest rosnąca

f'(x)<0\gr\ \Rightarrow\ \re x<-0,65063\ \ \ \ -\ funkcja jest malejąca

dla \re x=-0,65063\ funkcja ma minimum lokalne \re\ f_{min}=-0,14007
pre_1387231588__wykres_xex_x22.jpg
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 kasia6002

kasia6002

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 12 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 17.12.2013 - 11:25

Dzięki wielkie :) a mogłabyś mi jeszcze wytłumaczyć jak wyliczyłaś ten x=-0,65063 i minimum lokalne -0,14007 i czy ta funkcja posiada maximum lokalne?


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.12.2013 - 12:36

*
Najwyższa ocena

x=-0,65053... To wartość przybliżona. Dokładna to:

 

x_0=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt[3]{25}}{3\cdot \sqrt[3]{3\sqrt{6}-7}}+\frac{1}{3}\cdot\(\sqrt[3]{15\sqrt{6}-35}\)

 

Ładna co?? :) Jeśli chcesz (ale tak bardzo bardzo) to ci napiszę ale obliczenia to około 1,5 strony A5 (wiec może nie jest Ci to aż tak potrzebne)

 

Minimum lokalne to wartość funkcji w tym właśnie cudownym punkcie x_0

 

Maximum lokalne - Nie ma, co można wywnioskować z pierwszej pochodnej i samego wykresu funkcji.

 

Minimum lokalne to w właściwie minimum globalne.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 17.12.2013 - 12:40

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 kasia6002

kasia6002

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 12 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.12.2013 - 15:31

Dzięki :) w sumie to ma być praca na dodatkowe punkty do zaliczenia i ma być ona na A4. Mam jeszcze kilka pytań ,potrzebne mi jeszcze do tego zadania są : wklęśłość i wyukłość funkcji,wszystkie asymptoty,parzystość/nieparzystość funkcji,granice na krańcach dziedziny i punkty przegięcia. Z góry dziękuję :)


  • 0

#6 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 4000 postów
5064
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.12.2013 - 16:56

\bl f(x)=\frac{xe^x}{x^2+2}

 

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x+\frac2x}=\frac{0}{-\infty}=0

 

to daje jedyną asymptotę - poziomą - \ \bl y=0

 

\bl f'(x)=\frac{e^x(x^3-x^2+2x+2)}{(x^2+2)^2}

 

do określenia wypukłości trza policzyć drugą pochodną

f''(x)=\(f'(x)\)'=\frac{\(e^x(x^3-x^2+2x+2)\)'\cdot(x^2+2)^2-e^x(x^3-x^2+2x+2)\cdot\((x^2+2)^2\)'}{\((x^2+2)^2\)^2}=

 

=\frac{\{(e^x)'\cdot(x^3-x^2+2x+2)+e^x\cdot(x^3-x^2+2x+2)'\}\cdot(x^2+2)^2-e^x(x^3-x^2+2x+2)\cdot2(x^2+2)\cdot(x^2+2)'}{(x^2+2)^4}=

 

=\frac{\{e^x\cdot(x^3-x^2+2x+2)+e^x\cdot(3x^2-2x+2)\}\cdot(x^2+2)^2-e^x(x^3-x^2+2x+2)\cdot2(x^2+2)\cdot2x}{(x^2+2)^4}=

 

=\frac{\{e^x\cdot(x^3-x^2+2x+2)+e^x\cdot(3x^2-2x+2)\}\cdot(x^2+2)-e^x(x^3-x^2+2x+2)\cdot2\cdot2x}{(x^2+2)^3}=

 

=\frac{e^x\cdot(x^3-x^2+2x+2)(x^2+2)+e^x\cdot(3x^2-2x+2)(x^2+2)-e^x(x^3-x^2+2x+2)\cdot4x}{(x^2+2)^3}=

 
=e^x\cdot\frac{(x^3-x^2+2x+2)(x^2+2)+(3x^2-2x+2)(x^2+2)-4x(x^3-x^2+2x+2)}{(x^2+2)^3}\gr\ \Rightarrow\
 
\gr\ \Rightarrow\ \bl f''(x)=e^x\cdot\frac{x^5-2x^4+6x^3-8x+8}{(x^2+2)^3}
 
f''(x)=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x=-1,2139
 
f''(x)>0\gr\ \Rightarrow\ \re x>-1,2139\gr\ \Rightarrow\ funkcja jest wypukła
 
f''(x)<0\gr\ \Rightarrow\ \re x<-1,2139\gr\ \Rightarrow\ funkcja jest wklęsła
 
w \re x=-1,2139\ funkcja ma przegięcie
 
f(-x)=\frac{-xe^{-x}}{(-x)^2+2}=-\frac{xe^{-x}}{x^2+2}\gr\ \Rightarrow\ f(-x)\neq f(x)\\f(-x)\neq-(f(x)\gr\ \Rightarrow\ funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta
 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..






Tematy podobne do: Zmienność funkcji     x