Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

wykazanie, że funkcja jest ciągla jest bijekcją

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Agnieszka Łatka

Agnieszka Łatka

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
0
Neutralny

Napisano 15.12.2013 - 14:33

  Mam wykazać, że jeżeli funkcja ciągła:f:X\rightarrow Y jest bijekcją oraz X jest przestrzenią metryczną zwartą,to Y jest przestrzenią zwartą, a f^{-1} jest funkcją ciągłą.Proszę o pomoc.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.12.2013 - 22:31

Załóżmy, że mamy ciąg (y_n)\subset Y. Ponieważ f jest bijekcją, to każdemu elementowi ciągu możemy przyporządkować x_n=f^{-1}(y_n)\in X. Otrzymujemy w ten sposób ciąg (x_n). Korzystając ze zwartości X, można wybrać podciąg zbieżny. Teraz z ciągłości f, jeśli mamy (pod)ciąg zbieżny, to również wartości funkcji f na elementach tego ciągu tworzą ciąg zbieżny. Jest to oczywiście podciąg naszego wyjściowego ciągu (y_n), stąd przestrzeń Y jest zwarta.

 

Załóżmy teraz, że mamy dany ciąg (y_n)\subset Y zbieżny do pewnego y\in Y. Czy ciąg f^{-1}(y_n) jest zbieżny do f(y)? Ze zwartości wiemy, że posiada podciąg zbieżny do pewnego x, a z ciągłości wiemy, że wartości funkcji f na tym podciągu zbiegają do f(x), wobec czego x=f^{-1}(y). Ponieważ to samo możemy powiedzieć o dowolnym ciągu, to f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y) (tj. gdyby ciąg f^{-1}(y_n) nie był zbieżny do f^{-1}(y), to znaleźlibyśmy podciąg którego każdy element jest oddalony o co najmniej \varepsilon od x, ale ten podciąg też musi zawierać podciąg zbieżny i jego granicą musi być x, co stanowi sprzeczność).


  • 1