Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -
        STUDIA        

Całka nieoznaczona - Informacje podstawowe (1)

Całka Funkcja pierwotna Wzory Całka nieoznaczona całka nieoznaczona rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.12.2013 - 01:30

*
Najwyższa ocena

Całka nieoznaczona (albo funkcja pierwotna) to pojecię śćiśle związane z pojęciem pochodnej funkcji. Związek ten opisuje "Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego" które mówi, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi.

A dokładniej:

Jeśli funkcja F(x): <a,b> -> R jest ciągła i różniczkowalna na przedziale (a,b) oraz F'(x)=f(x) dla każdego x\in (a,b) a także C będzie liczbą rzeczywistą to:

 

F(x)+C=\int f(x) dx

 

Uwaga: Pominąłem część założeń umyslnie by nie wprowadzać niepotrzebnego zamieszania na początku i nie zaciemniać istoty całki nieoznaczonej

 

Skąd to C i dlaczego tam jest, oraz co oznacza dx zapytacie:

 

Mianowicie jak pamiętamy z http://matma4u.pl/to...-1/#entry111406

 

(F(x)+C)'= F'(x)+ C' a ponieważ C to liczba więc  C'=0 co daje nam F'(x)=f(x)

 

Zatem wartość pochodnej dwóch funkcji różniących się tylko o stałą będzie taka sama. Z kolei całkując czyli poszukując funkcji której pochodna jest równa funkcji podcałkowej nie wiemy jaka stała była dodana, stąd właśnie do każdej obliczonej funkcji pierwotnej dodaje się stałą C z adnotacją, że C\in R

 

Stąd także przez całkę nieoznaczoną rozumiemy rodzinę funkcji pierwotnych (różniących się o stałą), których pochodna jest równa funkcji podcałkowej.

 

Cząstka dx nie wnikając w szczegóły mówi nam po jakiej zmiennej należy całkować czyli po zmiennej x w naszym przypadku- o tym poźniej.

 

Na rysunku zaznaczono 3 z pośród nieskończonej ilości funkcji pierwotnych pewnej funkcji.

300px-Slope_Field.png

Przykład:

 

\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 +C gdzie C\in R,   bo   (\frac{1}{3}x^3+C)'=x^2

 

WŁASNOŚCI:

 

Ponieważ (F(x)\pm G(x))'= F'(x)\pm G'(x)= f(x) \pm g(x) więc:

 

                \int (f(x) \pm g(x))dx= \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

 

Ponieważ (a\cdot F(x))'= a\cdot F'(x)=a\cdot f(x) więc:

 

                \int (a\cdot f(x)) dx= a\cdot \int f(x) dx

 

Uwaga:

Ponieważ  (F(x)\cdot G(x))'\neq F'(x) \cdot G'(x) więc \int (f(x)\cdot g(x))dx \neq \int f(x) dx \cdot \int g(x) dx

W takim przypadku obowiązuje całkowanie przez części http://matma4u.pl/to...zenie-wzorów-1/

 

WZORY PODSTAWOWE: (w każdym przypadku C\in R)

 

1)   \int 0dx= C          bo C'=0

 

2)   \int dx= x+C          bo (x+C)'=1

 

2a) \int adx= ax+C          bo (ax+C)'=a

 

3)   \int x^k dx= \frac{x^{k+1}}{k+1}+C    gdzie  k\neq -1      bo (\frac{x^{k+1}}{k+1}+C)'= x^k

 

4)   \int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx= \ln|x|+C          bo (\ln|x|+C)'= \frac{1}{x}

 

5)   \int a^x dx= \frac{a^x}{\ln|a|}+C          bo (\frac{a^x}{\ln|a|}+C)'=a^x

 

5a) \int e^xdx=e^x+C

 

6)   \int \sin(x)dx=-\cos(x)+C          bo (-cos(x)+C)'=\sin(x)

 

7)   \int \cos(x)dx=\sin(x)+C          bo (\sin(x)+C)'=\cos(x)

 

8)   \int \frac{1}{\sin^2(x)}dx= -ctg(x)+C          bo (-ctg(x)+C)'= \frac{1}{\sin^2(x)}

 

9)   \int \frac{1}{\cos^2(x)}dx= tg(x)+C          bo (tg(x)+C)'= \frac{1}{\cos^2(x)}

 

10)  \int \frac{1}{1+x^2}dx= arctg(x)+C=-arcctg(x)+C         bo (arctg(x)+C)'= \frac{1}{1+x^2}

 

11)  \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx= arcsin(x)+C=-arccos(x)+C         bo (arcsin(x)+C)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

Więcej gotowych wzorów na całki można znaleść na stronie http://pl.wikisource...i/Tablica_całek

jednakże wyprowadzenie większości z nich wymaga użycia całkownia przez części lub całkowanie przez podstawienie.

 

Zobacz także: http://matma4u.pl/to...ne-zestawienie/


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55