Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

funkcja ciągła

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Agnieszka Łatka

Agnieszka Łatka

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
0
Neutralny

Napisano 05.12.2013 - 21:03

Wykaż, że funkcja ciągła f: X \rightarrow Y jest jednostajnie ciągła, gdy X jest przestrzenią metryczną zwartą. Proszę o pomoc i wytłumaczenie tego.


Użytkownik Agnieszka Łatka edytował ten post 05.12.2013 - 21:03

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3069 postów
1425
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.12.2013 - 17:51

Jest to tzw. Twierdzenie Cantora - Heinego

Patrz  podręczniki Analizy Matematycznej: np:  Rudina, Kołodzieja.


  • 1

#3 Agnieszka Łatka

Agnieszka Łatka

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
0
Neutralny

Napisano 08.12.2013 - 14:37

Ale jak to udowodnić najłatwiej??


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.12.2013 - 17:26

Można by było tak: ustalamy \varepsilon>0 i wtedy z ciągłości w każdym punkcie mamy pewną \delta_x (zależną od x) taką, że f(K_{\delta_x}(x))\subset K_{\frac{1}{2}\varepsilon} f(x) (z powodów "technicznych" podzieliłem \varepsilon na 2). Czyli mamy pokrycie przestrzeni X zbiorami otwartymi K_{\delta_x}(x). Możemy zrobić sobie jeszcze drobniejsze pokrycie zmieniając każdą liczbę \delta_x na \frac{1}{2}\delta_x (znowu robimy z powodów "technicznych"). Teraz musimy wykorzystać założenie o X, skoro jest to przestrzeń zwarta, to ze wspomnianego przed chwilą (drobniejszego) pokrycia możemy wybrać podpokrycie skończone.

 

Co nam to dało? Każdy punkt przestrzeni x\in X leży w pewnej kuli K_{\frac{1}{2}\delta_{x_0}}(x_0). Załóżmy, że y\in X taki, że d(x,y)<\frac{1}{2}\delta_{x_0}. Wtedy d(x_0,y)\leq d(x_0,x)+d(x,y)<\frac{1}{2}\delta_{x_0}+\frac{1}{2}\delta_{x_0}=\delta_{x_0}. To znaczy, że d(f(y),f(x_0))<\frac{1}{2}\varepsilon. Wiemy też, że d(f(x_0),f(x))<\frac{1}{2}\varepsilon, więc z nierówności trójkąta d(f(y),f(x))<\varepsilon

 

Widzimy więc, że ilość różnych wartości \delta_x da się zredukować do skończenie wielu. Wystarczy teraz wziąć najmniejszą z wybranych liczb \frac{1}{2}\delta_x: będzie ona dobra dla każdego x\in X a jednocześnie będzie >0. To udowadnia, że funkcja jest jednostajnie ciągła.


  • 1





Tematy podobne do: funkcja ciągła     x