Wykaż, że funkcja ciągła f: jest jednostajnie ciągła, gdy X jest przestrzenią metryczną zwartą. Proszę o pomoc i wytłumaczenie tego.
Użytkownik Agnieszka Łatka edytował ten post 05.12.2013 - 21:03
Napisano 05.12.2013 - 21:03
Wykaż, że funkcja ciągła f: jest jednostajnie ciągła, gdy X jest przestrzenią metryczną zwartą. Proszę o pomoc i wytłumaczenie tego.
Użytkownik Agnieszka Łatka edytował ten post 05.12.2013 - 21:03
Napisano 25.09.2011 - 17:55
Napisano 07.12.2013 - 17:51
Jest to tzw. Twierdzenie Cantora - Heinego
Patrz podręczniki Analizy Matematycznej: np: Rudina, Kołodzieja.
Napisano 08.12.2013 - 14:37
Ale jak to udowodnić najłatwiej??
Napisano 09.12.2013 - 17:26
Można by było tak: ustalamy i wtedy z ciągłości w każdym punkcie mamy pewną (zależną od ) taką, że (z powodów "technicznych" podzieliłem na 2). Czyli mamy pokrycie przestrzeni X zbiorami otwartymi . Możemy zrobić sobie jeszcze drobniejsze pokrycie zmieniając każdą liczbę na (znowu robimy z powodów "technicznych"). Teraz musimy wykorzystać założenie o , skoro jest to przestrzeń zwarta, to ze wspomnianego przed chwilą (drobniejszego) pokrycia możemy wybrać podpokrycie skończone.
Co nam to dało? Każdy punkt przestrzeni leży w pewnej kuli . Załóżmy, że taki, że . Wtedy . To znaczy, że . Wiemy też, że , więc z nierówności trójkąta .
Widzimy więc, że ilość różnych wartości da się zredukować do skończenie wielu. Wystarczy teraz wziąć najmniejszą z wybranych liczb: będzie ona dobra dla każdego a jednocześnie będzie . To udowadnia, że funkcja jest jednostajnie ciągła.
Funkcje
Funkcja ciągła i pochodnaNapisany przez henry_14, 08 Feb 2010 |
|
|||
Rachunek różniczkowy
Funkcja ciągła, a funkcja ograniczonaNapisany przez bs1337, 13 Apr 2010 |
|
|||
Rachunek różniczkowy
Funkcja ciągłaNapisany przez julka_puk, 23 Jun 2010 |
|
|||
Rachunek różniczkowy
funkcja ciągłaNapisany przez Kuma, 02 Jan 2011 |
|
|||
Rachunek różniczkowy
Funkcja ciągła - własność DarbouxNapisany przez sandra-91, 07 Dec 2011 STUDIA |
|