Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

złożenie funkcji jednostajnie ciągłych

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Agnieszka Łatka

Agnieszka Łatka

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
0
Neutralny

Napisano 05.12.2013 - 21:01

Mam takie zadanie: Wykaż, że złożenie funkcji jednostajnie ciągłych jest funkcją jednostajnie ciągłą. Jak to zrobić?


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.12.2013 - 11:26

Powiedzmy, że f:X\to Y i g:Y\to Z są jednostajnie ciągłe, mamy pokazać, że g\circ f:X\to Z jest jednostajnie ciągła. Musimy więc wziąć dowolny \varepsilon>0 i pokazać, że istnieje \delta>0 taka, że jeśli dwa punkty przestrzeni X są oddalone o nie więcej niż \delta to ich wartości są oddalone o nie więcej niż \varepsilon. Ale wiemy, że funkcja g jest jednostajnie ciągła, co oznacza, że dla naszego \varepsilon zachodzi warunek:

\exists_{\gamma>0}\forall_{y_1,y_2\in Y} \(d_Y(y_1,y_2)<\gamma \Rightarrow d_Z(g(y_1),g(y_2))<\varepsilon\)

(specjalnie zmieniłem oznaczenie ze standardowej delty na \gamma, bo to jeszcze nie ta \delta której szukamy).

Wiemy także, że funkcja f jest jednostajnie ciągła, czyli dla \gamma (która tym razem występuje w roli epsilona):

\exists_{\delta>0}\forall_{x_1,x_2\in X} \(d_X(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x_1),f(x_2))<\gamma\)

 

Czyli istnieje taka \delta>0, że \forall_{x_1,x_2\in X}:

d_X(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x_1),f(x_2))<\gamma \Rightarrow d_Z(g(f(x_1)),g(f(x_2)))<\varepsilon

czego należało dowieść.


  • 1