Mam takie zadanie: Wykaż, że złożenie funkcji jednostajnie ciągłych jest funkcją jednostajnie ciągłą. Jak to zrobić?
#1
Napisano 05.12.2013 - 21:01
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 08.12.2013 - 11:26
Powiedzmy, że i są jednostajnie ciągłe, mamy pokazać, że jest jednostajnie ciągła. Musimy więc wziąć dowolny i pokazać, że istnieje taka, że jeśli dwa punkty przestrzeni są oddalone o nie więcej niż to ich wartości są oddalone o nie więcej niż . Ale wiemy, że funkcja jest jednostajnie ciągła, co oznacza, że dla naszego \varepsilon zachodzi warunek:
(specjalnie zmieniłem oznaczenie ze standardowej delty na , bo to jeszcze nie ta której szukamy).
Wiemy także, że funkcja jest jednostajnie ciągła, czyli dla (która tym razem występuje w roli epsilona):
Czyli istnieje taka , że :
czego należało dowieść.