Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wyznaczyć wnętrze, domknięcie i brzeg zbiorów

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 ksd22

ksd22

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 109 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.12.2013 - 01:21

Wyznaczyć wnętrze, domknięcie i brzeg zbiorów: \{x\}, (a,b), [a,b], \mathbb{Q}, \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}, \mathbb{Z} w przestrzeni \mathbb{R} z topologią

1) naturalną

2) dyskretną

3) antydyskretną

4) dopełnień skończonych


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.12.2013 - 16:22

Skorzystaj z definicji wnętrza, domkniecia i brzegu i próbuj sam. Jak by co daj znać z czym masz problem.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.12.2013 - 16:24

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 ksd22

ksd22

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 109 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.12.2013 - 20:02

Skorzystaj z definicji wnętrza, domkniecia i brzegu i próbuj sam. Jak by co daj znać z czym masz problem.

Nie wiem co będzie we wszystkich topologiach dla A=R\Q i A=Z


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.12.2013 - 00:31

Dla \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} będzie to samo co dla \mathbb{Q}:

  • w topologii naturalnej: \mathrm{int}(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\emptyset, \overline{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=\mathbb{R} oraz \partial(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\mathbb{R}.
  • W topologii dopełnień skończonych także wnętrze jest puste (bo dopełnienie tego zbioru jest nieskończone), domknięcie to \mathbb{R} (bo jest to zbiór nieskończony) oraz brzeg jest równy \mathbb{R}.

W topologii dyskretnej każdy zbiór jest domknięty i otwarty, więc \mathrm{int}X=X=\overline{X} oraz \partial X=\emptyset. Znowu w antydyskretnej wnętrze każdego właściwego podzbioru jest puste, domknięcie każdego niepustego podzbioru jest całą przestrzenią a brzeg każdego właściwego i niepustego podzbioru jest całą przestrzenią.

 

Co dla zbioru \mathbb{Z}? W topologii dopełnień skończonych identycznie jak dla \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} (liczy się tylko to, że zbiór jest nieskończony i jego dopełnienie jest nieskończone).

Jedyny przypadek do rozpatrzenia to topologia naturalna. Tutaj wnętrze jest puste, domknięcie jest równe \mathbb{Z} (bo jest to zbiór domknięty). Brzeg również jest równy \mathbb{Z} (domknięciem \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} jest \mathbb{R}).


  • 0