Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Tożsamość trygonometryczna

LICEUM

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
13 odpowiedzi w tym temacie

#1 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.11.2013 - 10:25

Wykazać, że

 

\sum_{k=0}^{29}\tan\left(1^{\circ}+k\cdot6^{\circ}\right)=-30\sqrt{3}

 

 z góry dziękujęm za rozwiązanie :P


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3464 postów
3055
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.11.2013 - 11:44

Chwilowo nie mam czasu za dużo więc tylko podpowiem

 

rozpisz sobie te 30 tangensów

 

tan(1)+tan(7)+tan(13)+tan(19)+tan(25)+tan(31)+...+tan(163)+tan(169)+tan(175) mam nadzieje ze się nie pomyliłem ale wiesz o co chodzi

 

a następnie trzeba użyć wzorów redukcyjnych (chyba nawet 2 razy) np.

 

tan(175)=-tan(5)

 

później zobaczę dokładniej


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.11.2013 - 11:52

Próbowałam 15 tangensów z większymi kątami zamienić wg Twojego pomysłu ale nic nie potrafiłam z tego zrobić :(


  • 0

#4 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 07.04.2014 - 12:01

Chwilowo nie mam czasu za dużo więc tylko podpowiem

 

Może teraz ktoś znajdzie trochę czasu na to zadanie, bo jeszcze nie znalazłam rozwiązania


  • 0

#5 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.10.2014 - 08:56

później zobaczę dokładniej

 

 

później - czyli kiedy?


  • 0

#6 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 12.10.2015 - 13:04

później zobaczę dokładniej

 

czy już jest później?  :)


  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3464 postów
3055
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.10.2015 - 13:27

Sory zapomniałem o zadaniu choć nie całkiem bo kiedyś przymierzałem się do rozwiania ale okazało się byś trudniejsze niż zakładałem

 

Ale widzę, że po dwóch latach nadal szukasz :) rozwiązania

 

Intuicja podpowiadała mi, że uda się wykorzystując wzory redukcyjne

 

Próbowałem też uogólnić wzór

 

tg(x)+tg(y)=\frac{sin(x+y)}{cos(x)\cdot cos(y)} na więcej skąłdników ale to bardzo dużo przekształceń albo za mało wzorów znam :)

 

choć przy okazji zrodziła się myśl: a może zapisać to tak

 

tg(\frac{\pi}{180})+tg(\frac{7\pi}{180}) itd

 

Taka forma być może będzie bardziej użyteczna


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 12.10.2015 - 14:10

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.10.2015 - 18:57

Chcemy policzyć

 

\sum_{k=0}^{29} \tan\left(\alpha + \frac{k\cdot \pi}{30} \right) , gdzie \alpha = \frac{\pi}{180}

 

Niech y_k = \alpha + \frac{k\cdot \pi}{30}

 

Wtedy dla wszystkich k mamy \tan(30\alpha) = \tan(30y_k) = \sum_{i=0}^{15} {30 \choose 2i-1} \cdot \tan^{2i-1} y_k \cdot (-1)^i \cdot \left(\sum_{i=0}^{15} {30 \choose 2i} \cdot \tan^{2i} y_k \cdot (-1)^i \right)^{-1}

 

(to ostatnie np z wikipedii: https://pl.wikipedia...k.C4.85t.C3.B3w)

 

Czyli \tan(30\alpha) \cdot \tan^{30} y_k + 30\tan^{29}y_k - \ldots + \tan(30 \alpha) = 0

 

Jeśli lewą stronę w ostatniej równości potraktujemy jako wielomian W(x) = \tan(30\alpha) \cdot x^{30} + 30x^{29} - \ldots + \tan(30 \alpha), to jego wszystkimi pierwiastkami są liczby y_k dla k=0,1,\ldots,29

 

W takim razie, z wzorów Viete'a mamy \sum_{k=0}^{29} \tan\left(\alpha + \frac{k\cdot \pi}{30} \right) = \sum_{k=0}^{29} y_k = -\frac{30}{\tan(30\alpha)} = -30\cot\left( \frac{\pi}{6}\right)=-30\sqrt{3}

 

:)


  • 1

#9 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.10.2015 - 08:36

Wtedy dla wszystkich k mamy \tan(30\alpha) = \tan(30y_k) = \sum_{i=0}^{15} {30 \choose 2i-1} \cdot \tan^{2i-1} y_k \cdot (-1)^i \cdot \left(\sum_{i=0}^{15} {30 \choose 2i} \cdot \tan^{2i} y_k \cdot (-1)^i \right)^{-1}

 

dla  i=0  otrzymuję  {30\choose -1}\cdot\frac{1}{\tan y_k}\ \dots

ile to jest  {30\choose -1}?


  • 0

#10 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.10.2015 - 10:27

ile to jest  {30\choose -1}?

 {30\choose -1} = 0, więc wszystko jest ok. Oczywiście zgrabniej by było dopasowac indeksy.


  • 1

#11 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.10.2015 - 14:29

ale z wzoru     {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}   wynika, że  {30\choose -1}=\frac{30!}{(-1)!\cdot 31!}


  • 0

#12 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.10.2015 - 15:17

Tak, ale ten wzór który podałaś jest używany dla argumentów naturalnych, i dodatkowo k \le n. Natomiast nic nie stoi na przeszkodzie, żeby definicję symbolu Newtona rozszerzyć, np przy pomocy funkcji \Gamma(\cdot).

 

Polecam choćby takie podsumowanie tematu http://mathworld.wol...oefficient.html


Użytkownik Ereinion edytował ten post 13.10.2015 - 15:20

  • 1

#13 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3027 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 14.10.2015 - 08:01

tam jest zapis          NumberedEquation3.gif                                                (3)

z niego wynika, że   {n\choose n}=0   ???


  • 0

#14 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.10.2015 - 10:18

Zgadza się, druga nierówność w pierwszej części definicji powinna być słaba. W (9) jest juz dobra wartość n \choose n podana, więc to nie jest tak, że oni nie wiedzą ile powinno być :)

 

Na dole strony jest link "Contact the MathWorld Team" i możesz zgłosić ten błąd oraz ew. inne, które znalazłaś.


  • 1





Tematy podobne do: Tożsamość trygonometryczna     x