Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Pochodne - wiadomości podstawowe (1)

Pochodne Całka nieoznaczona matematyka

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.11.2013 - 01:36

*
Najwyższa ocena

Pochodna - pojecie to zostało wprowadzone zdefiniowane niezależnie przez dwóch matematyków: I.Newtona i G.W.Leibniza.

 

Jeśli funkcja f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punkty x_0 to pochodną funkcji f(x) w punkcie x_0 nazywamy granicę ilorazu różnicowego (o ile taka granica istnieje) czyli:

 

\re{\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x)}{h}}

 

gdzie h jest przyrostem zmiennej niezależnej x (często oznaczane jako \Delta x)

 

Graficznie przedstawia to rysunek:

 

wykres214.jpg

Pamiętajmy ze h dąży 0, dzięki pochodnej dostajemy odpowiedź jak zmieni się wartość funkcji f(x) przy minimalnym przyroście zmiennej x.

 

Jeśli funkcja posiada pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny, to możemy wyznaczyć funkcję g(x) która każdemu elementowi funkcji punktowi dziedziny funkcji f(x) przypisuje wartość pochodnej funkcji f(x) w tym punkcie. Funkcję g(x) nazywamy krótko "pochodną f".

 

Pochodną oznaczamy na kilka sposobów:

g(x)=f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=y'=\frac{dy}{dx}

 

Funkcję dla której istnieje pochodna w danym punkcie nazywamy funkcją różniczkowalną w danym punkcie. Analogicznie jeśli istnieje pochodna danej funkcji na pewnym zbiorze mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na tym zbiorze.

 

WZORY I WŁASNOŚCI

 

1. Pochodna z iloczynu stałej i funkcji:

\left( a\cdot f \left( x \right) \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{a\cdot f \left( x+h \right) -a\cdot f \left( x \right) }{h}=a\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=a\cdot f' \left( x \right)

 

2. Pochodna sumy i różnicy dwóch (lub więcej) funkcji:

\left( f \left( x \right) +g \left( x \right) \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) +g \left( x+h \right) - \left( f \left( x \right) +g \left( x \right) \right) }{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}=f' \left( x \right) + g' \left( x \right)

 

\left( f \left( x \right) - g \left( x \right) \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -g \left( x+h \right) - \left( f \left( x \right) -g \left( x \right) \right) }{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}-\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}=f' \left( x \right) - g' \left( x \right)

 

3.Pochodna Iloczynu:

\left( f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) +f \left( x \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x \right) \left( g \left( x+h \right) -g \left( x \right) \right) +g \left( x+h \right) \left( f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\\= f \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}+g \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

 

4. Pochodna Ilorazu:

\left( \frac{f \left( x \right) }{g \left( x \right) } \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{f \left( x+h \right) }{g \left( x+h \right) }-\frac{f \left( x \right) }{g \left( x \right) }}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) }{h\cdot g \left( x \right) g \left( x+h \right) }=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) +f \left( x \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) }{h\cdot g \left( x \right) g \left( x \right) }=\\=\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x \right) \left( f \left( x+h \right) -f \left( x \right) \right) -f \left( x \right) \left( g \left( x+h \right) -g \left( x \right) \right) }{h\cdot \left( g \left( x \right) \right) ^2}= \frac{g \left( x \right) }{ \left( g \left( x \right) \right) ^2}\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}-\frac{f \left( x \right) }{ \left( g \left( x \right) \right) ^2}\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}= \frac{f' \left( x \right) g \left( x \right) -f \left( x \right) g' \left( x \right) }{ \left( g \left( x \right) ^2 \right) }

gdy   g(x)\neq 0

 

5. Pochodna funkcji złożonej:

Jeśli y=f \left( g \left( x \right) \right) ; u=g \left( x \right) to:

 

\left( f \left( g \left( x \right) \right) \right) '=\frac{d}{dx} f \left( g \left( x \right) \right) =\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}= \lim_{h\to 0} \frac{f \left( g \left( x+h \right) -f \left( g \left( x \right) }{h} \frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h} =f' \left( g \left( x \right) \right) \cdot g' \left( x \right)

 

6. Pochodna funkcji odwrotnej:

f^{-1}(y)=\(f'(x)\)^{-1}=\frac{1}{f'(x)}  gdy f'(x)\neq 0

 

7. Pochodna odwrotności funkcji:

Analogicznie jak w przypadku pochodnej ilorazu, za f(x) przyjmujemy 1, wtedy:

\left( \frac{1}{g \left( x \right) } \right) '= \frac{-g'(x)}{g^2(x)}

gdy   g(x)\neq 0

 

Wzory podstawowych punkcji:

 

1. Pochodna z funkcji stałej f(x)=a

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a-a}{h}=0

 

2.Pochodna z funkcji afinicznej (czasem mylnie nazywanej liniową) y=ax+b

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a \left( x+h \right) +b- \left( ax+b \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{ax+ah+b-ax-b}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{ah}{h}=a

 

Można także użyć wzoru na pochodną sumy f(x)=ax g(x)=b

 

3.Pochodna funkcji potęgowej \bl{y=x^a}

f' \left( x \right) = \left( x^a \right) '= \left( e^{\ln {x^a}} \right) '= \left( e^{a\ln {x}} \right) '=e^{a\ln {x}}\cdot \left( a\ln {x} \right) '= e^{\ln {x^a}}\cdot a\frac{1}{x}=x^a\cdot a\frac{1}{x}=a\frac{x^a}{x}=a\cdot x^{a-1}

 

4. Pochodna wielomianu

Dzielimy wielomian na jednomiany (sumę funkcji potęgowych) i do każdej stosujemy powyższy wzór.

 

5. Pochodna z funkcji \bl{f(x)=\sqrt{x}}

 

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}= \lim\limits_{h\to0}\frac{x+h-x}{h \left( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right) }=\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

 

Można także użyć wzoru na pochodną funkcji potęgowej f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

 

6. Pochodna z funkcji \bl{f(x)=\frac{a}{x}}

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{a}{x+h}-\frac{a}{x}}{h}= f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{ax-a \left( x+h \right) }{h\cdot x \left( x+h \right) }= \lim\limits_{h\to0}\frac{-a}{x \left( x+h \right) }=-\frac{a}{x^2}

 

7. Pochodna z funkcji wykładniczej \bl{f(x)=a^x}

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^x \left( a^h-1 \right) }{h}=a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}

 

Teraz zastosować należy podstawienie:

a^h-1=z

skoro h\to0 to oczywiście  a^h\to1\,\Rightarrow\,z\to0

a^h=z+1\,\Leftrightarrow\,h=\log _a \left( z+1 \right)

 

A dalej liczymy tak:

f' \left( x \right) =a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=a^x\lim\limits_{z\to0}\frac{z}{\log _a \left( z+1 \right) }= a^x\lim\limits_{z\to0}\frac{1}{\frac{1}{z}\log _a \left( z+1 \right) }=a^x\lim\limits_{z\to0}\frac{1}{\log _a \left( 1+z \right) ^{\frac{1}{z}}}= a^x\cdot\frac{1}{\log _a \left( \lim\limits_{z\to0} \left( 1+z \right) ^{\frac{1}{z}} \right) }=a^x\cdot\frac{1}{\log _ae}=a^x\ln {a}

 

Jako szczególny przypadek funkcji wykładniczej - niezwykle ważna funkcja: f(x)=e^x

\re{f' \left( x \right) =e^x\ln {e}=e^x}

 

8. Pochodna funkcji logarytmicznej \bl{f \left( x \right) =\log _ax,\;\;a>0,\,a\neq1,\,x>0}

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\log _a \left( x+h \right) -\log _ax}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{1}{h}\log _a \left( \frac{x+h}{x} \right) = {\lim\limits_{h\to0}\log _a \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\frac{1}{h}}}=\log _a \left( \lim\limits_{h\to0} \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\frac{1}{h}} \right) = \log _a \left( \lim\limits_{h\to0} \left( \left( 1+\frac{h}{x} \right) ^{\frac{x}{h}} \right) ^{\frac{1}{x}} \right) =\log _ae^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\log _ae=\frac{1}{x\ln {a}}

 

Jaki szczególny przypadek funkcji logarytmicznej f \left( x \right) =\ln {x},\;\;x>0

\re{f' \left( x \right) =\frac{1}{x\ln {e}}=\frac{1}{x}}

 

9. Pochodne funkcji trygonometrycznych:

Sinusa f(x)= sin(x)

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( x+h \right) }-\sin {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{2\sin { \left( \frac{x+h-x}{2} \right) }\cos { \left( \frac{x+h+x}{2} \right) }}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }\cos { \left( x+\frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}= \cos {x}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}=\cos {x}

 

Cosinusa f(x)= cos(x)

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos { \left( x+h \right) }-\cos {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{-2\sin { \left( \frac{x+h+x}{2} \right) }\sin { \left( \frac{x+h-x}{2} \right) }}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{-\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }\sin { \left( x+\frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}= -\sin {x}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin { \left( \frac{h}{2} \right) }}{\frac{h}{2}}=-\sin {x}

 

Tangensa \re{f \left( x \right) =\tan {x},\;\;x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\:k\in C}

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\tan { \left( x+h \right) }-\tan {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{\sin { \left( x+h-x \right) }}{\cos { \left( x+h \right) }\cos {x}}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\sin {h}}{h\cos { \left( x+h \right) }\cos {x}}=\frac{1}{\cos ^2{x}}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin {h}}{h}=\frac{1}{\cos ^2{x}}

 

Cotangensa \re{f \left( x \right) =\cot {x},\;\;x\neq k\pi,\,k\in C}

f' \left( x \right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cot { \left( x+h \right) }-\cot {x}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{\sin { \left( x- \left( x+h \right) \right) }}{\sin { \left( x+h \right) }\sin {x}}}{h}= \lim\limits_{h\to0}\frac{-\sin {h}}{h\sin { \left( x+h \right) }\sin {x}}=-\frac{1}{\sin ^2{x}}\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin {h}}{h}=-\frac{1}{\sin ^2{x}}

 

10. Pochodne funkcji cyklometrycznych (bez wyprowadzania)

Arkus sinus f(x)=arcsin(x)

(arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

Arkus cosinus f(x)=arccos(x)

(arccos(x))'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

 

Arkus tangens f(x)=arctan(x)

(arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}

 

Arkus cotangens f(x)=arccot(x)

(arccot(x))'=\frac{-1}{1+x^2}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 31.12.2013 - 00:07

  • 6

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55